Question

已知函數(shù)，其中m，a均為實數(shù)．
（1）求的極值；
（2）設(shè)，若對任意的，恒成立，求的最小值；
（3）設(shè)，若對任意給定的，在區(qū)間上總存在，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

(1)極大值為1，無極小值；(2)3-；(3)．

試題分析：(1)求的極值，就是先求出，解方程，此方程的解把函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，我們再確定在每個區(qū)間里的符號，從而得出極大值或極小值；（2）此總是首先是對不等式恒成立的轉(zhuǎn)化，由（1）可確定在上是增函數(shù)，同樣的方法（導數(shù)法）可確定函數(shù)在上也是增函數(shù)，不妨設(shè)，這樣題設(shè)絕對值不等式可變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043255141513.png" style="vertical-align:middle;" />
，整理為，由此函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則在（3，4）上恒成立，要求的取值范圍．采取分離參數(shù)法得恒成立，于是問題轉(zhuǎn)化為求在上的最大值；（3）由于的任意性，我們可先求出在上的值域，題設(shè)“在區(qū)間上總存在，使得
成立”，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，極值點為（），其次，極小值，最后還要證明在上，存在，使，由此可求出的范圍.
試題解析：（1），令，得x=1．       1分
列表如下：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
	+	0	-
g(x)	↗	極大值	↘

 
∵g(1)=1，∴y=的極大值為1，無極小值．       3分
（2）當時，，．
∵在恒成立，∴在上為增函數(shù)．       4分
設(shè)，∵>0在恒成立，
∴在上為增函數(shù)．       5分
設(shè)，則等價于，
即．
設(shè)，則u(x)在為減函數(shù)．
∴在（3，4）上恒成立．       6分
∴恒成立．
設(shè)，∵=，xÎ[3，4]，
∴，∴<0，為減函數(shù)．
∴在[3，4]上的最大值為v(3)=3-．       8分
∴a≥3-，∴的最小值為3-．       9分
（3）由（1）知在上的值域為．       10分
∵，，
當時，在為減函數(shù)，不合題意．       11分
當時，，由題意知在不單調(diào)，
所以，即．①       12分
此時在上遞減，在上遞增，
∴，即，解得．②
由①②，得．       13分
∵，∴成立．       14分
下證存在，使得≥1．
取，先證，即證．③
設(shè)，則在時恒成立．
∴在時為增函數(shù)．∴，∴③成立．
再證≥1．
∵，∴時，命題成立．
綜上所述，的取值范圍為．       16分