設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)2-2ln(1+x).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在[m,m+1](m>-1)上的最小值;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=x2+x+a在區(qū)間[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)a取值范圍.
分析:(1)先求函數(shù)的定義域(-1,+∞),對函數(shù)求導(dǎo)可得
f′(x)=2(x+1)-,分別令f′(x)>0,f′(x)<0解得x的范圍,即為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間
(2)討論m的取值范圍,確定函數(shù)f(x)在[m,m+1]上的單調(diào)性,結(jié)合單調(diào)性以確定函數(shù)在區(qū)間[m,m+1]上的最值
(3)由f(x)=x
2+x+a在[0,2]有兩不等的根?x-a+1-2ln(1+x)=0在區(qū)間[0,2]上有兩不等的根,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x-a+1-2ln(1+x),對函數(shù)求導(dǎo),由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間[0,1],增區(qū)間[1,2],從而可得
求出a的取值范圍
解答:解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?1,+∞).(1分)
∵f′(x)=2[(x+1)-
]==
,
由f′(x)>0,得x>0;由f′(x)<0,得-1<x<0.(3分)
∴f(x)的遞增區(qū)間是(0,+∞),遞減區(qū)間是(-1,0).(4分)
(2)①當(dāng)m≥0時(shí),f(x)在[m,m+1]是增加的
此時(shí)f(x)
min=f(m)=(m+1)
2-2ln(1+m)(6分)
②當(dāng)-1<m<0時(shí),f(x)在[m,0]是減少的、在[0,m+1]是增加的
此時(shí)f(x)
min=f(0)=1
(3)方程f(x)=x
2+x+a,x-a+1-2ln(1+x)=0.
記g(x)=x-a+1-2ln(1+x),
∵g′(x)=1-
=,(9分)
由g′(x)>0,得x>1或x<-1(舍去).由g′(x)<0,得-1<x<1.
∴g(x)在[0,1]上遞減,在[1,2]上遞增.(10分)
為使方程f(x)=x
2+x+a在區(qū)間[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,
只須g(x)=0在[0,1]和(1,2]上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根,于是有
∵2-2ln2<3-2ln3,
∴a∈(2-ln2,3-2ln3](12分)
點(diǎn)評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性、最值、及根的分布問題,體現(xiàn)了分類討論及轉(zhuǎn)化思想的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用.