已知函數(shù)滿足,對于任意R都有,且 ,令.

（Ⅰ）求函數(shù)的表達式；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）研究函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).

 

【答案】

∵，∴.                 …… 1分        

∵對于任意R都有,

∴函數(shù)的對稱軸為，即，得.   …… 2分

又，即對于任意R都成立，

∴,且．

　∵，      ∴．

　∴．                …… 4分

(2) 解：       …… 5分

① 當時，函數(shù)的對稱軸為，

若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增；  …… 6分

若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．  …… 7分

② 當時，函數(shù)的對稱軸為，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．   …… 8分

綜上所述，當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；                     …… 9分

當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為

和．                                         …… 10分

 (3)解：① 當時，由(2)知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又，

故函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點．       …… 11分

② 當時，則，而，

，

（�。┤�，由于，

且，

此時，函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點；                    …… 12分

（ⅱ）若，由于且，此時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點．                 …… 13分

綜上所述，當時，函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點；

當時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點．

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列說法中，正確的是（　�。�
①對于定義域為R的函數(shù)f（x），若函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（1-x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱；
②當a＞1時，任取x∈R都有ax＞a-x；
③“a=1”是“函數(shù)f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增”的充分必要條件；
④設a∈{-1，1，
1
2
，3}，則使函數(shù)y=xa的定義域為R且該函數(shù)為奇函數(shù)的所有a的值為1，3；
⑤已知a是函數(shù)f（x）=2x-log0.5x的零點，若0＜x0＜a，則f（x0）＜0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若定義在D上的函數(shù)y=f（x）滿足條件：存在實數(shù)a，b（a＜b）且[a，b]?D，使得：
①任取x0∈[a，b]，有f（x0）=C（C是常數(shù)）；
②對于D內(nèi)任意y0，當y0∉[a，b]，總有f（y0）＜C．
我們將滿足上述兩條件的函數(shù)f（x）稱為“平頂型”函數(shù)，稱C為“平頂高度”，稱b-a為“平頂寬度”．根據(jù)上述定義，解決下列問題：
（1）函數(shù)f（x）=-|x+2|-|x-3|是否為“平頂型”函數(shù)？若是，求出“平頂高度”和“平頂寬度”；若不是，簡要說明理由．
（2）已知f(x)=mx-
x2+2x+n
，x∈[-2，+∞)是“平頂型”函數(shù)，求出m，n的值．
（3）對于（2）中的函數(shù)f（x），若f（x）=kx在x∈[-2，+∞）上有兩個不相等的根，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012屆上海市高三第一學期期中理科數(shù)學試卷 題型：解答題

若定義在上的函數(shù)滿足條件：存在實數(shù)且，使得：

⑴ 任取，有（是常數(shù)）；

⑵ 對于內(nèi)任意，當，總有。

我們將滿足上述兩條件的函數(shù)稱為“平頂型”函數(shù)，稱為“平頂高度”，稱為“平頂寬度”。根據(jù)上述定義，解決下列問題：

（1）函數(shù)是否為“平頂型”函數(shù)？若是，求出“平頂高度”和“平頂寬度”；若不是，簡要說明理由。

（2） 已知是“平頂型”函數(shù)，求出 的值。

（3）對于（2）中的函數(shù)，若在上有兩個不相等的根，求實數(shù)的取值范圍。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年高考試題（上海秋季）解析版（理） 題型：解答題

 [番茄花園1] 本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分10分。

若實數(shù)、、滿足，則稱比遠離.

（1）若比1遠離0，求的取值范圍；

（2）對任意兩個不相等的正數(shù)、，證明：比遠離；

（3）已知函數(shù)的定義域.任取，等于和中遠離0的那個值.寫出函數(shù)的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）.

23本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.

已知橢圓的方程為，點P的坐標為（-a，b）.

（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點的坐標；

（2）設直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；

（3）對于橢圓上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.

 

 

 

 

 [番茄花園1]22.

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年黑龍江省大慶市鐵人中學高三（上）第二次段考數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

下列說法中，正確的是（ ）
①對于定義域為R的函數(shù)f（x），若函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（1-x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱；
②當a＞1時，任取x∈R都有ax＞a-x；
③“a=1”是“函數(shù)f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增”的充分必要條件；
④設a∈{-1，1，，3}，則使函數(shù)y=xa的定義域為R且該函數(shù)為奇函數(shù)的所有a的值為1，3；
⑤已知a是函數(shù)f（x）=2x-log0.5x的零點，若0＜x＜a，則f（x）＜0．
A．①④
B．①④⑤
C．②③④
D．①⑤

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