【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求的值;
(2)討論方程的實(shí)數(shù)根的情況.
【答案】(1)(2)當(dāng)時,方程有兩個實(shí)數(shù)根;當(dāng)時,方程無實(shí)數(shù)根.
【解析】試題分析: (1)求出,利用兩直線垂直,求出 的值; (2)設(shè) ,利用單調(diào)性求出, 分類討論: ,得出結(jié)果.
試題解析:(1)依題意,得,
所以,
又由曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,可得,
所以,解得;
(2)方程,即.
當(dāng)時,得,解得,
當(dāng)時,解得.但是,即,所以時,方程無實(shí)數(shù)根.
令,則,
故當(dāng)時, 是單調(diào)遞增函數(shù);當(dāng)時, 是單調(diào)遞減函數(shù),
所以.
當(dāng)時,由,得.
又,令,則在區(qū)間上,故為增函數(shù),所以,即,所以.
,故當(dāng)時,方程有兩個實(shí)數(shù)根;當(dāng)時,方程無實(shí)數(shù)根.
點(diǎn)睛: 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù),屬于中檔題.
【一題多解】在(2)中,由有,轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象交點(diǎn)的個數(shù),當(dāng)與相切時,切點(diǎn)為,又,所以此時無零點(diǎn);由圖象知,當(dāng)時圖象有兩個交點(diǎn),即有兩個零點(diǎn), ,圖象沒有交點(diǎn),無零點(diǎn),綜上討論,得出結(jié)論: 有兩個實(shí)數(shù)根, 無實(shí)數(shù)根.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個盒子內(nèi)裝有8張卡片,每張卡片上面寫著1個數(shù)字,這8個數(shù)字各不相同,且奇數(shù)有3個,偶數(shù)有5個.每張卡片被取出的概率相等.
(Ⅰ)如果從盒子中一次隨機(jī)取出2張卡片,并且將取出的2張卡片上的數(shù)字相加得到一個新數(shù),求所得新數(shù)是偶數(shù)的概率;
(Ⅱ)現(xiàn)從盒子中一次隨機(jī)取出1張卡片,每次取出的卡片都不放回盒子,若取出的卡片上寫著的數(shù)是偶數(shù)則停止取出卡片,否則繼續(xù)取出卡片.設(shè)取出了次才停止取出卡片,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù), ,則對于不同的實(shí)數(shù),函數(shù)的單調(diào)區(qū)間個數(shù)不可能是( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 5個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一家公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為6萬元,每生產(chǎn)1千件需另投入2.9萬元,設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為萬元,且.
(1)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式;
(2)求該公司生產(chǎn)這一產(chǎn)品的最大年利潤及相應(yīng)的年產(chǎn)量.(年利潤=年銷售收入-年總成本)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有4個人參加某娛樂活動,該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇,為增加趣味性,約定:每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲,擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.
(1) 求出4個人中恰有2個人去 參加甲游戲的概率;
(2)求這4個人中去參加甲游戲人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率;
(3)用分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù),記,求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了分析某個高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),對其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議.現(xiàn)對他前次考試的數(shù)學(xué)成績、物理成績進(jìn)行分析.下面是該生次考試的成績.
數(shù)學(xué) | 108 | 103 | 137 | 112 | 128 | 120 | 132 |
物理 | 74 | 71 | 88 | 76 | 84 | 81 | 86 |
(Ⅰ)他的數(shù)學(xué)成績與物理成績哪個更穩(wěn)定?請給出你的說明;
(Ⅱ)已知該生的物理成績與數(shù)學(xué)成績是線性相關(guān)的,求物理成績與數(shù)學(xué)成績的回歸直線方程
(Ⅲ)若該生的物理成績達(dá)到90分,請你估計(jì)他的數(shù)學(xué)成績大約是多少?
(附: )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,直線傾斜角是且過拋物線的焦點(diǎn),直線被拋物線截得的線段長是16,雙曲線: 的一個焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,則直線與軸的交點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是( )
A. 2 B. C. D. 1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.
(1)設(shè), ,若函數(shù)存在零點(diǎn),求的取值范圍;
(2)若是偶函數(shù),設(shè),若函數(shù)與的圖象只有一個公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=a4x﹣a2x+1+1﹣b(a>0)在區(qū)間[1,2]上有最大值9和最小值1
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(x)﹣k4x≥0在x∈[﹣1,1]上有解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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