Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分別為AB、PC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；

（Ⅱ）若PA=2，試問在線段EF上是否存在點(diǎn)Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)Q的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）滿足條件的存在，是中點(diǎn).

【解析】

試題分析：本題考查二面角，空間中線面的位置關(guān)系，向量數(shù)量積運(yùn)算，注意解題方法的積累，建立坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力．第一問，取中點(diǎn)，連接，通過中位線定理可得，利用線面平行的判定定理即得結(jié)論；第二問，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則平面的法向量與平面的法向量的夾角的余弦值即為，計算即可．

試題解析：證明：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接，在中，為的中點(diǎn)， ，正方形中為中點(diǎn)，，，故四邊形為平行四邊形，，

又平面，平面， 平面；

（Ⅱ）結(jié)論：滿足條件的存在，是中點(diǎn)．理由如下：如圖：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則，由題易知平面的法向量為，假設(shè)存在滿足條件：設(shè)，，，，，設(shè)平面的法向量為，

由，可得，

，

由已知：，解得：，

所以滿足條件的存在，是中點(diǎn)．