Question

若偶函數(shù)y=f（x）x（∈R）滿足f（1+x）=f（1-x），且當x∈[-1，0]時，f（x）=x²，則函數(shù)g（x）=f（x）-|log₆x|的零點個數(shù)為

6

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Answer 1

分析：由題目給出的等式及函數(shù)是偶函數(shù)可得函數(shù)的周期為2，再由函數(shù)在x∈[-1，0]時，f（x）=x²，且函數(shù)是偶函數(shù)知函數(shù)在x∈[-1，1]時的解析式仍為f（x）=x²，
所以函數(shù)在整個定義域上的圖象可知，分析函數(shù)y=|log₆x|在x=6時的函數(shù)值為1，所以兩函數(shù)圖象的交點可知，即函數(shù)g（x）的零點個數(shù)可求．

解答：解：由f（1+x）=f（1-x），取x=x+1，得：f（x+1+1）=f（1-x-1），所以f（x+2）=f（-x），又因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以f（x+2）=f（-x）=f（x），所以函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)．
因為當x∈[-1，0]時，f（x）=x²，由偶函數(shù)可知，當x∈[-1，1]時，f（x）=x²，所以函數(shù)f（x）的圖象是拋物線f（x）=x²在[-1，1]內(nèi)的部分左右平移2個單位周期出現(xiàn)，
求函數(shù)g（x）=f（x）-|log₆x|的零點個數(shù)，就是求兩函數(shù)y=f（x）與y=|log₆x|的交點個數(shù)，由于log₆6=1，所以兩函數(shù)在（0，1]內(nèi)有1個交點，在（1，3]內(nèi)有2個交點，
在（3，5]內(nèi)有兩個交點，在（5，7]內(nèi)只有1個交點，所以交點總數(shù)為6個，所以函數(shù)g（x）=f（x）-|log₆x|的零點個數(shù)為6．
故答案為6．

點評：本題考查了函數(shù)的周期性與函數(shù)的零點，考查了函數(shù)周期的求法，解答此題的關(guān)鍵是明確函數(shù)g（x）的零點個數(shù)就是兩函數(shù)y=f（x）與y=|log₆x|的交點個數(shù)．