Question

若偶函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（1+x）=f（1-x），且當x∈[-1，0]時，f（x）=x²，則函數(shù)g（x）=f（x）-|1gx|的零點個數(shù)為（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10

Answer 1

【答案】分析：根據條件可得f（x）是周期函數(shù)，T=2，且是偶函數(shù)，令y=0，則f（x）=|lgx|，在同一坐標系中作y=f（x）和y=lgx圖象，由圖象可得結論．
解答：解：由題意g（x）=f（x）-|1gx|=
∵f（1+x）=f（1-x），故f（x）的圖象關于x=1對稱，
又函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，∴f（x+2）=f（-x）=f（x），∴f（x）是周期函數(shù)，T=2，
令y=0，則f（x）=lgx，在同一坐標系中作y=f（x）和y=lgx圖象，如圖所示：

故函數(shù)y=f（x）-lgx的零點有9個，
當lgx＜0時，函數(shù)y=f（x）+lgx的零點有1個，
故函數(shù)g（x）=f（x）-|1gx|的零點個數(shù)為10
故選D．
點評：本題考查函數(shù)零點的定義，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，在同一坐標系中作y=f（x）和y=lgx圖象，是解題的關鍵．