已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),對(duì)任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).
(1)證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤(x+c)2;
(2)若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.
(1)見(jiàn)解析(2)
【解析】(1)易知f′(x)=2x+b.由題設(shè),對(duì)任意的x∈R,2x+b≤x2+bx+c,即x2+(b-2)x+c-b≥0恒成立,所以(b-2)2-4(c-b)≤0,從而c≥+1.于是c≥1,
且c≥2 =|b|,因此2c-b=c+(c-b)>0.
故當(dāng)x≥0時(shí),有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0.即當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤(x+c)2.
(2)由(1)知c≥|b|.當(dāng)c>|b|時(shí),有M≥=.
令t=,則-1<t<1,=2-.
而函數(shù)g(t)=2- (-1<t<1)的值域是.
因此,當(dāng)c>|b|時(shí),M的取值集合為.
當(dāng)c=|b|時(shí),由(1)知b=±2,c=2.此時(shí)f(c)-f(b)=-8或0,c2-b2=0,從而f(c)-f(b)≤(c2-b2)恒成立.綜上所述,M的最小值為.
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若M為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足(-)·(+-2 )=0,則△ABC為( ).
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
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若函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則ω=________.
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已知函數(shù)f(x)=x3-2x2+3m,x∈[0,+∞),若f(x)+5≥0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A. B.
C.(-∞,2] D.(-∞,2)
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已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),不等式f(x)+xf′(x)<0成立,若a=30.3f(30.3),b=logπ3f(logπ3),c=log3f,則a,b,c間的大小關(guān)系是( ).
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>c>b
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題提升訓(xùn)練3練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
已知f(x)是定義域?yàn)?/span>R的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題提升訓(xùn)練2練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為3元,并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3≤a≤5)的管理費(fèi),預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(9≤x≤11)時(shí),一年的銷售量為(12-x)2萬(wàn)件.
(1)求分公司一年的利潤(rùn)L(萬(wàn)元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí),分公司一年的利潤(rùn)L最大?并求出L的最大值Q(a).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題提升訓(xùn)練1練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
已知x,y為正實(shí)數(shù),則( ).
A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y B.2lg(x+y)=2lg x·2lg y
C.2lg x·lg y=2lg x+2lg y D.2lg(xy)=2lg x·2lg y
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如圖所示,在空間直角坐標(biāo)系中,有一棱長(zhǎng)為a的正方體ABC-OA′B′C′D′,A′C的中點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)F的距離為 ( ).
A.a B. a C.a D.a
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