Question

拋物線x²=

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y在第一象限內(nèi)圖象上一點(diǎn)（a_i，2a_i²）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為a_i+1，其中i∈N^*，若a₂=32，則a₂+a₄+a₆等于（　�。�

• A、64
• B、42
• C、32
• D、21

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由y=2x²（x＞0），求出x²=

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y在第一象限內(nèi)圖象上一點(diǎn)（a_i，2a_i²）處的切線方程是：y-2a_i²=4a_i（x-a_i），再由切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a_i+1，知a_i+1=

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2

a_i，所以{a_2k}是首項(xiàng)為a₂=32，公比q=

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4

的等比數(shù)列，由此能求出a₂+a₄+a₆．

解答： 解：∵y=2x²（x＞0），
∴y′=4x，
∴x²=

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2

y在第一象限內(nèi)圖象上一點(diǎn)（a_i，2a_i²）處的切線方程是：y-2a_i²=4a_i（x-a_i），
整理，得4a_ix-y-2a_i²=0，
∵切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a_i+1，
∴a_i+1=

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2

a_i，
∴{a_2k}是首項(xiàng)為a₂=32，公比q=

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的等比數(shù)列，
∴a₂+a₄+a₆=32+8+2=42．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯．解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)、切線方程和等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用．