Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x-cos²x+2

3

sinx•cosx
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；       
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最值；
（3）若f（α）=

1

7

，2α是第一象限角，求sin2α的值．

Answer 1

分析：利用兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式．
（1）通過正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；       
（2）通過x∈[0，

π

2

]，求出相位的范圍，然后求f（x）的最值；
（3）利用f（α）=

1

7

，2α是第一象限角，求出cos（2α-

π

6

）=

4 3

7

，利用sin2α=sin[（2α-

π

6

）+

π

6

]，求解它的值

解答：解：f（x）=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x-cos2x+

3

sin2x        …（2分）
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

）                            …（3分）
（1）令

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，解得

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ          …（5分）
∴f（x）的減區(qū)間是[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]（k∈Z）                    …（6分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，…（7分）
∴當(dāng)2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時，f（x）_min=-

1

2

，…（8分）
當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，f（x）_max=1                      …（9分）
（3）f（α）=sin（2α-

π

6

）=

1

7

，2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜

π

2

+2kπ
∴2kπ-

π

6

＜2α-

π

6

＜

π

3

+2kπ，∴cos（2α-

π

6

）=

4 3

7

，…（11分）
∴sin2α=sin[（2α-

π

6

）+

π

6

]=sin（2α-

π

6

）•cos

π

6

+cos（2α-

π

6

）•sin

π

6

   …（12分）
=

1

7

×

3

2

+

4 3

7

×

1

2

=

5 3

14

                              …（14分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用三角函數(shù)的單調(diào)性與最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力．