Question

函數(shù)y=-x³+（2a-4）x²+bx是奇函數(shù)，且在（-∞，-3a]上是減函數(shù)，則b的取范圍是（　　）

A．（-∞，-108]

B．（-∞，108]

C．[108，+∞）

D．[-108，+∞）

Answer 1

分析：根據(jù)奇函數(shù)的定義，算出a=2得解析式為y=-x³+bx，求導(dǎo)數(shù)得y'=-3x²+b．從而得到函數(shù)在（-∞，-6]上是減函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y'≤0在區(qū)間（-∞，-6]恒成立，由此建立關(guān)于b的不等式，即可求出b的范圍．

解答：解：∵函數(shù)y=-x³+（2a-4）x²+bx是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即x³+（2a-4）x²-bx=x³-（2a-4）x²-bx
由此可得（2a-4）x²=-（2a-4）x²，得a=2
函數(shù)解析式為y=-x³+bx，求導(dǎo)數(shù)得y'=-3x²+b
∵函數(shù)在（-∞，-3a]上是減函數(shù)，即在（-∞，-6]上是減函數(shù)
∴在區(qū)間（-∞，-6]上y'≤0恒成立，
即-3x²+b≤0在區(qū)間（-∞，-6]上恒成立，可得b≤（-3x²）_min，
∵當(dāng)x=-6時(shí)，-3x²有最小值為-108，
∴b≤-108，即b的取范圍是（-∞，-108]
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有字母的三次多項(xiàng)式函數(shù)，在已知函數(shù)的奇偶和單調(diào)區(qū)間情況下求參數(shù)取值范圍．著重考查了函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式恒成立的討論等知識(shí)，屬于中檔題．