【題目】已知橢圓 (a>b>0)的右焦點(diǎn)F(1,0),離心率為 ,過F作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N.
(1)求橢圓的方程;
(2)證明:直線MN必過定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)坐標(biāo);
(3)若弦AB,CD的斜率均存在,求△FMN面積的最大值.
【答案】
(1)解:由題意:c=1, = ,
∴a= ,b=c=1,
則橢圓的方程為 +y2=1
(2)證明:∵AB,CD斜率均存在,
∴設(shè)直線AB方程為:y=k(x﹣1),
再設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有M( ,k( ﹣1)),
聯(lián)立得: ,
消去y得:(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,
∴ ,即M( , ),
將上式中的k換成﹣ ,同理可得:N( , ),
若 = ,解得:k=±1,直線MN斜率不存在,
此時直線MN過點(diǎn)( ,0);
下證動直線MN過定點(diǎn)P( ,0),
若直線MN斜率存在,則kMN= = = × ,
直線MN為y﹣ = × (x﹣ ),
令y=0,得x= + × = × = ,
綜上,直線MN過定點(diǎn)( ,0)
(3)解:由第(2)問可知直線MN過定點(diǎn)P( ,0),
故S△FMN=S△FPM+S△FPN= × | |+ × | = × ,
令t=|k|+ ∈[2,+∞),S△FMN=f(t)= × = × ,
∴f(t)在t∈[2,+∞)單調(diào)遞減,
當(dāng)t=2時,f(t)取得最大值,即S△FMN最大值 ,此時k=±1.
【解析】(1)根據(jù)題意確定出c與e的值,利用離心率公式求出a的值,進(jìn)而求出b的值,確定出橢圓方程即可;(2)由直線AB與CD向量存在,設(shè)為k,表示出AB方程,設(shè)出A與B坐標(biāo),進(jìn)而表示出M坐標(biāo),聯(lián)立直線AB與橢圓方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出M,同理表示出N,根據(jù)M與N橫坐標(biāo)相同求出k的值,得到此時MN斜率不存在,直線MN恒過定點(diǎn);若直線MN斜率存在,表示出直線MN斜率,進(jìn)而表示出直線MN,令y=0,求出x的值,得到直線MN恒過定點(diǎn),綜上,得到直線MN恒過定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo)即可;(3)根據(jù)P坐標(biāo),得到OP的長,由OF﹣OP表示出PF長,三角形MNF面積等于三角形PMF面積加上三角形PNF面積,利用基本不等式求出面積的最大值即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣π<φ<0)的最小正周期為π,且它的圖象過點(diǎn)( , ).
(1)求ω,φ的值;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
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【題目】已知向量 =(2cosx, sinx), =(3cosx,﹣2cosx),設(shè)函數(shù)f(x)=
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若x∈[0, ],求f(x)的值域.
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【題目】如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為1的菱形, 底面ABCD,SA=2,M為SA的中點(diǎn).
(1)求異面直線AB與MD所成角的大;
(2)求直線AS與平面SCD所成角的正弦值;
(3)求平面SAB與平面SCD所成銳二面角的余弦值.
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【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足:a2=5,a5+a7=26,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn .
(1)求an及Sn;
(2)設(shè){bn﹣an}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AP=AB=AD=1.
(Ⅰ)若直線PB與CD所成角的大小為,求BC的長;
(Ⅱ)求二面角B-PD-A的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+x﹣16,
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,﹣6)處的切線的方程.
(2)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=﹣ x+3垂直,求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,GH是東西方向的公路北側(cè)的邊緣線,某公司準(zhǔn)備在GH上的一點(diǎn)B的正北方向的A處建設(shè)一倉庫,設(shè)AB=ykm,并在公路北側(cè)建造邊長為xkm的正方形無頂中轉(zhuǎn)站CDEF(其中EF在GH上),現(xiàn)從倉庫A向GH和中轉(zhuǎn)站分別修兩條道路AB,AC,已知AB=AC+1,且∠ABC=60°..
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并求出定義域;
(2)如果中轉(zhuǎn)站四堵圍墻造價為10萬元/km,兩條道路造價為30萬元/km,問:x取何值時,該公司建設(shè)中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路總造價M最低.
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