Question

已知函數(shù)

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；

（2）用定義證明在上是減函數(shù)；

（3）函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù)？（直接寫出答案，不要求寫證明過程）．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2） 詳見解析；（3） 函數(shù) 在上是單調(diào)減函數(shù).

【解析】

試題分析：（1）首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義進行證明；（2）直接根據(jù)單調(diào)性的定義（取值—作差—變形—定號—判奇偶）進行證明即可；（3）由（2）的證明結(jié)果可知在上的單調(diào)性，而是關(guān)于原點的對稱區(qū)間，根據(jù)“奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反”直接做出判斷.

試題解析：（1）根據(jù)題意函數(shù)的定義域為：，關(guān)于坐標原點對稱.

，在定義域上是奇函數(shù).

（2） 設(shè)且，則

，，即且；又，.

∴，即

函數(shù)在上是減函數(shù).

（3）是奇函數(shù)且在上是減函數(shù)；又是關(guān)于原點的對稱區(qū)間.

在上是單調(diào)減函數(shù).

考點：1、函數(shù)奇偶性的證明；2、函數(shù)單調(diào)性的證明；3、奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性.