Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（Ⅰ）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M為棱PC的中點(diǎn)，求異面直線AP與BM所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由題意，證出四邊形BCDQ為平行四邊形，得CD∥BQ，結(jié)合∠ADC=90°證出QB⊥AD．再根據(jù)平面PAD⊥底面ABCD，利用面面垂直的判定與性質(zhì)即可證出平面PQB⊥平面PAD． 
（II）由面面垂直性質(zhì)定理，證出PQ⊥平面ABCD．以QA、QB、QP分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，可得A、P、B、C各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式算出M的坐標(biāo)，進(jìn)而得到

AP

、

BM

的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式加以計(jì)算，即可得到異面直線AP與BM所成角的余弦值為

2 7

7

．

解答：解：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q為AD的中點(diǎn)，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，可得CD∥BQ．
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． 
（Ⅱ）∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．（注：不證明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）
因此，以Q為原點(diǎn)、QA、QB、QP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
則Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，

3

），B（0，

3

，0），C（-1，

3

，0）
∵M(jìn)是PC中點(diǎn)，∴M（-

1

2

，

3

2

，

3

2

）
∴

AP

=（-1，0，

3

），

BM

=（-

1

2

，-

3

2

，

3

2

）
設(shè)異面直線AP與BM所成角為θ，
則cosθ=|cos＜

AP

，

BM

＞|=

AP • BM

| AP |•| BM |

=

2 7

7

．
∴異面直線AP與BM所成角的余弦值為

2 7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題在特殊的四棱錐中求證面面垂直、并求異面直線的所成角．著重考查了空間垂直位置關(guān)系的判斷與證明、利用空間向量求異面直線所成角等知識(shí)，屬于中檔題．