Question

長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在x，y軸上移動(dòng)，點(diǎn)P在直線AB上且滿足，
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡的方程；
（Ⅱ）記點(diǎn)P軌跡為曲線C，過點(diǎn)Q（2，1）任作直線l交曲線C于M，N兩點(diǎn)，過M作斜率為的直線l′交曲線C于另一點(diǎn)R。求證：直線NR與直線OQ的交點(diǎn)為定點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），并求出該定點(diǎn)。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)，
由，
又由，
即為點(diǎn)P的軌跡方程。
（Ⅱ）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，直線l與曲線C相切，不合題意；
當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）+1，即y=kx+1-2k，
聯(lián)立方程，
設(shè)，
則，
則MR的方程為，
與曲線C的方程聯(lián)列得，
則，
所以，
直線NR的方程為，
令，

，


，
∴，
從而，
即直線NR與直線OQ交于定點(diǎn)。