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【題目】設 （，）．

（1）若展開式中第5項與第7項的系數之比為3∶8，求k的值；

（2）設（），且各項系數，，，…，互不相同．現(xiàn)把這個不同系數隨機排成一個三角形數陣：第1列1個數，第2列2個數，…，第n列n個數．設是第i列中的最小數，其中，且i，．記的概率為．求證：．

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用題目所給展開式中第項與第項的系數之比列方程，解方程求得的值.

（2）利用相互獨立事件概率乘法公式，求得的表達式，構造數列，判斷出數列的單調性，由此證得不等式成立

（1）因為在展開式中第5項與第7項的系數之比為3∶8，即，

所以，即，所以，

解得或．

因為，所以．

（2）由題意，最小數在第n列的概率為，

去掉第n列已經排好的n個數，

則余下的個數中最小值在第列的概率為，

…………

以此類推，

余下的數中最小數在第2列的概率為，

所以．

由于，所以．

設，

所以．

記，所以，

所以是遞增數列，所以；是遞增數列，所以，

所以，所以，即．

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某手機生產企業(yè)為了對研發(fā)的一批最新款手機進行合理定價，將該款手機按事先擬定的價格進行試銷，得到單價（單位：千元）與銷量（單位：百件）的關系如下表所示：

單價（千元）

1

1.5

2

2.5

3

銷量（百件）

10

8

7

6

已知.

（Ⅰ）若變量，具有線性相關關系，求產品銷量（百件）關于試銷單價（千元）的線性回歸方程；

（Ⅱ）用（Ⅰ）中所求的線性回歸方程得到與對應的產品銷量的估計值，當銷售數據對應的殘差滿足時，則稱為一個“好數據”，現(xiàn)從5個銷售數據中任取3個，求其中“好數據”的個數的分布列和數學期望.

參考公式：，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設點為拋物線外一點，過點作拋物線的兩條切線，，切點分別為，．

（Ⅰ）若點為，求直線的方程；

（Ⅱ）若點為圓上的點，記兩切線，的斜率分別為，，求的取值范圍．

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【題目】平面上兩定點，動點滿（為常數）．

（Ⅰ）說明動點的軌跡（不需要求出軌跡方程）；

（Ⅱ）當時，動點的軌跡為曲線，過的直線與交于兩點，已知點，證明：．

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【題目】如圖，在市中心有一矩形空地．市政府欲將它改造成綠化景觀帶，具體方案如下：在邊上分別取點M，N，在三角形內建造假山，在以為直徑的半圓內建造噴泉，其余區(qū)域栽種各種觀賞類植物．

（1）若假山區(qū)域面積為，求噴泉區(qū)域面積的最小值；

（2）若，求假山區(qū)域面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的方程為，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，點，點是曲線上的動點，為線段的中點.

（1）寫出曲線的參數方程，并求出點的軌跡的直角坐標方程；

（2）已知點，直線與曲線的交點為，若線段的中點為，求線段長度.

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【題目】某石雕構件的三視圖如圖所示，該石雕構件最中間的鏤空部分是一個獨特的幾何體——牟合方蓋（在一個立方體內作兩個互相垂直的內切圓柱，其相交的部分），其體積（其中為最大截面圓的直徑）.若三視圖中網格紙上小正方形的邊長為1，則該石雕構件的體積為( )

A.B.C.D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】把方程表示的曲線作為函數的圖象，則下列結論正確的是（ ）

①在R上單調遞減

②的圖像關于原點對稱

③的圖象上的點到坐標原點的距離的最小值為3

④函數不存在零點

A.①③B.①②③C.①③④D.①②③④

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【題目】公元五世紀，數學家祖沖之估計圓周率的值的范圍是：，為紀念數學家祖沖之在圓周率研究上的成就，某教師在講授概率內容時要求學生從小數點后的6位數字1，4，1，5，9，2中隨機選取兩個數字做為小數點后的前兩位（整數部分3不變），那么得到的數字大于3.14的概率為（ ）

A.B.C.D.

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