設(shè)函數(shù)f(x)=x+
alnxx
，其中a為常數(shù)．
（1）證明：對(duì)任意a∈R，y=f（x）的圖象恒過定點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，判斷函數(shù)y=f（x）是否存在極值？若存在，求出極值；若不存在，說明理由；
（3）若對(duì)任意a∈（0，m]時(shí)，y=f（x）恒為定義域上的增函數(shù)，求m的最大值．
分析：（1）令lnx=0得到x=1=f（x）得到函數(shù)過定點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)觀察發(fā)現(xiàn)x=1時(shí)g（x）=0且為唯一根，根據(jù)x的范圍討論函數(shù)的增減性得到x=1是函數(shù)的唯一極值點(diǎn)，求出f（1）即為最小值；（3）y=f（x）恒為定義域上的增函數(shù)即要證f/（x）f/(x)=1+
a-alnx
x2
=
x2-alnx+a
x2
大于零，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）=x2-alnx+a的最小值都比0大即可．
解答：解：（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
所以y=f（x）的圖象過定點(diǎn)（1，1）；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=x-
lnx
x
，f/(x)=1-
1-lnx
x2
=
x2+lnx-1
x2

令g（x）=x2+lnx-1，經(jīng)觀察得g（x）=0有根x=1，下證明g（x）=0無其它根．g/(x)=2x+
1
x
，
當(dāng)x＞0時(shí)，g/（x）＞0，即y=g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
所以g（x）=0有唯一根x=1；
且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f/(x)=
g(x)
x2
＜0，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f/(x)=
g(x)
x2
＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)
所以x=1是f（x）的唯一極小值點(diǎn)．極小值是f(1)=1-
ln1
1
=1．
（3）f/(x)=1+
a-alnx
x2
=
x2-alnx+a
x2
，令h（x）=x2-alnx+a
由題設(shè)，對(duì)任意a∈（0，m]，有h（x）≥0，x∈（0，+∞），
又h/(x)=
2x2-a
x
=
2(x-
a
2
)(x+
a
2
)
x

當(dāng)x∈(0，
a
2
)
時(shí)，h/（x）＜0，h（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈(
a
2
，+∞)時(shí)，h/（x）＞0，h（x）是增函數(shù)；
所以當(dāng)x=
a
2
時(shí)，h（x）有極小值，也是最小值h(
a
2
)=(
3
2
-ln
a
2
)a，
又由h（x）≥0得(
3
2
-ln
a
2
)a≥0，得a≤2e3，即m的最大值為2e3．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及研究函數(shù)極值的能力，以及應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=p（x-
1
x
）-2lnx，g（x）=
2e
x
（p是實(shí)數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；
（2）若直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象相切于點(diǎn)（1，0），求p的值；
（3）若在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在非零實(shí)數(shù)l使得對(duì)于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+1）≥f（x），則稱f（x）為M上的高調(diào)函數(shù)．現(xiàn)給出下列三個(gè)命題：
①函數(shù)f(x)=(
12
)x為R上的l高調(diào)函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調(diào)函數(shù)；
③如果定義域是[-1，+∞）的函數(shù)f（x）=x2為[-1，+∞）上的m高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍[2，+∞）；
其中正確的命題是
②③
②③
（填序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個(gè)不同的根．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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