Question

在2014年全國(guó)高校自主招生考試中，某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)面試考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立回答全部問題．規(guī)定：至少正確回答其中2題的便可通過．已知6道備選題中考生甲有4題能正確回答，2題不能回答；考生乙每題正確回答的概率都為

2

3

，且每題正確回答與否互不影響．
（Ⅰ）分別寫出甲、乙兩考生正確回答題數(shù)的分布列，并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）試用統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析比較兩考生的通過能力．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）確定甲、乙兩考生正確回答的題目個(gè)數(shù)的取值，求出相應(yīng)的概率，可得分布列、數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）由Eξ=Eη，知甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的平均取值相同．由Dξ＜Dη，知ξ的取值比η的取值相對(duì)集中于均值2的周圍，因此甲生的實(shí)際操作能力比乙生強(qiáng)．

解答： 解析：（I）設(shè)考生甲、乙正確回答的題目個(gè)數(shù)分別為ξ、η，則ξ的可能取值為1，2，3，
P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P（ξ=3）=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

，
∴考生甲正確完成題數(shù)的分布列為

ξ	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．…..（4分）
又η～B（3，

2

3

），其分布列為P（η=k）=

C

k 3

•（

2

3

）^k•（

1

3

）^3-k，k=0，1，2，3；
∴Eη=np=3×

2

3

=2．…（6分）
（II）∵Dξ=（2-1）²×

1

5

+（2-2）²×

3

5

+（2-3）²×

1

5

=

2

5

，
Dη=npq=3×

2

3

×

1

3

=

2

3

，∴Dξ＜Dη．…..（8分）
∵P（ξ≥2）=

3

5

+

1

5

=0.8，P（η≥2）=

12

27

+

8

27

≈0.74，
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）． …（10分）
從回答對(duì)題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考查，兩人水平相當(dāng)；從回答對(duì)題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定；從至少完成2題的概率考查，甲獲得通過的可能性大．因此可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)通過能力較強(qiáng)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算和分布列的求法，考查利用數(shù)學(xué)期望和方差分析比較甲、乙兩考生的實(shí)驗(yàn)操作能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)期望和方差在實(shí)際問題中的靈活運(yùn)用．