Question

對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件：
①焦點(diǎn)在y軸上；
②通徑為8；
③過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為4；
④拋物線上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6；
能滿足拋物線y²=8x的條件是

②③

 （填序號(hào)）

Answer 1

分析：由拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，分別設(shè)出各種情況下拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y²=2px，根據(jù)題意建立關(guān)系式并解之，得p的值，從而可得拋物線的方程．由此方法，可得②③是符合題意的答案，而①④不符合題意．

解答：解：對(duì)于①，當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程形式是x²=2py或x²=-2py的形式，不可能是y²=8x，故①不正確；
對(duì)于②，過拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F（

p

2

，0）且與x軸垂直的直線，交拋物線于A（

p

2

，y₁），B（

p

2

，y₂）
由y²=2p×

p

2

=p²，得|y₁-y₂|=2p=8，即拋物線的通徑恰好為8，故拋物線y²=8x，符合題意，②正確；
對(duì)于③，設(shè)過拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F（

p

2

，0）的直線方程為y=k（x-

p

2

）
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

消去y，得k²x²-（2+k²）px+

1

4

k²p²=0
設(shè)交點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得x₁•x₂=

1

4

p²=4，解之得p=4
∴2p=8，得拋物線方程為y²=8x，符合題意，③正確；
對(duì)于④，設(shè)拋物線方程為y²=2px，點(diǎn)P（2，y₀）到焦點(diǎn)有距離等于6，
根據(jù)拋物線的定義得2+

p

2

=6，得p=8，得拋物線方程為y²=16x，不符合題意，故④不正確．
故答案為：②③

點(diǎn)評(píng)：本題給出幾個(gè)條件，求能使拋物線方程為y²=8x的條件，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與拋物線的關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．