【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 若Sn=2an﹣3n.
(Ⅰ)求證:數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(Ⅱ)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn .
【答案】(I)證明:∵Sn=2an﹣3n,∴n=1時(shí),a1=2a1﹣3,解得a1=3.
n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣3n﹣[2an﹣1﹣3(n﹣1)],
化為:an=2an﹣1+3,變形為:an+3=2(an﹣1+3),∴數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列,公比為2.
∴an+3=6×2n﹣1 , 解得an=3×2n﹣3.
(II)解:nan=3n×2n﹣3n.
設(shè)數(shù)列{n×2n}的前n項(xiàng)和為An=2+2×22+3×23+…+n×2n ,
2An=22+2×23+…+(n﹣1)×2n+n×2n+1 ,
∴﹣An=2+22+…+2n﹣n×2n+1= ﹣n×2n+1=(1﹣n)×2n+1﹣2,
∴An=(n﹣1)×2n+1+2.
∴數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn=6+(3n﹣3)×2n+1﹣3×
【解析】(I)Sn=2an﹣3n,n=1時(shí),a1=2a1﹣3,解得a1 . n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1 , 化為:an=2an﹣1+3,變形為:an+3=2(an﹣1+3),利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.(II)nan=3n×2n﹣3n.設(shè)數(shù)列{n×2n}的前n項(xiàng)和為An=2+2×22+3×23+…+n×2n , 利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出An , 再利用等差數(shù)列的求和公式進(jìn)而得出.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬;將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐為鱉臑, 平面, , ,三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,則球的表面積為( ).
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線: (為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)分別求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線交曲線于, 兩點(diǎn),交曲線于, 兩點(diǎn),求線段的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在三棱錐A﹣BCD中,AB=CD,且點(diǎn)M,N分別是BC,AD的中點(diǎn).若直線AB⊥CD,則直線AB與MN所成的角為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分14分)
如圖,在正三棱柱中,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).
求證: ∥平面
若求證:A1B⊥平面B1CE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知n為正整數(shù),數(shù)列{an}滿足an>0, ,設(shè)數(shù)列{bn}滿足
(1)求證:數(shù)列 為等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,求實(shí)數(shù)t的值;
(3)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn , 對任意的n∈N* , 均存在m∈N* , 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,求滿足條件的所有整數(shù)a1的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓心為C的圓過點(diǎn)A(0,﹣6)和B(1,﹣5),且圓心在直線l:x﹣y+1=0上.
(1)求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)M(2,8)作圓的切線,求切線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù),滿足f(x)+f(y)=f(xy).
(1)求證: ;
(2)若f(4)=﹣4,解不等式 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年空氣質(zhì)量逐步霧霾天氣現(xiàn)象增多,大氣污染危害加重,大氣污染可引起心悸,呼吸困難等心肺疾病,為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān),在某醫(yī)院隨機(jī)的對入院50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合計(jì) | |
男 | 5 | ||
女 | 10 | ||
合計(jì) | 50 |
已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率為.
(1)請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)?說明你的理由;
(2)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患胃病,現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中,選出3名進(jìn)行其他方面的排查,記選出患胃病的女性人數(shù)為,求的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差,下面的臨界值表供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式,其中.)
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