若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足（b-a3+2lna）2+（c-d-2）2=0，則（a-c）2+（b-d）2的最小值為（　�。�
A、
2
B、2
C、2
2
D、8
分析：由題意b-a3+2lna=0，設(shè)b=y，a=x，得y=x3-2lnx；c-d-2=0，設(shè)c=x，d=y，得y=x+2；（a-c）2+（b-d）2應(yīng)是曲線y=x3-2lnx與直線y=x+2之間的最小距離的平方值，由此求出（a-c）2+（b-d）2的最小值．
解答：解：根據(jù)題意，得
b-a3+2lna=0…①
c-d-2=0…②
，
①中，設(shè)b=y，a=x，則y=x3-2lnx，（x＞0）；
②中，設(shè)c=x，d=y，則y=x+2；
∴（a-c）2+（b-d）2是曲線y=x3-2lnx與直線y=x+2之間的最小距離的平方值；
對(duì)曲線y=x3-2lnx求導(dǎo)，得y'（x）=3x2-
2
x
，
與y=x+2平行的切線斜率k=1=3x2-
2
x
，即3x3-x-2=0；
解得x=1，此時(shí)y=1；
∴切點(diǎn)（1，1）到直線y=x+2的距離為
d=
|1-1+2|
2
=
2
，
∴（a-c）2+（b-d）2的最小值是d2=2．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求最小值的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是把所求的結(jié)論轉(zhuǎn)化為可解答的曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離問(wèn)題，是難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•鹽城二模）若實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足
a2-2lna
b
=
3c-4
d
=1，則（a-c）2+（b-d）2的最小值為
2(ln2-1)2
5
2(ln2-1)2
5
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•盧灣區(qū)一模）若實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足矩陣等式
ab
02
11
02
=
24
cd
，則行列式
.
ab
cd
.
的值為
8
8
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列命題中假命題的是（　　）
①若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＞b＞0，c＞d＞0，則a2-
d
＞b2-
c
；
②若實(shí)數(shù)a，b滿足a＞b，則(
1
3
)a＜(
1
3
)b；
③若實(shí)數(shù)a，b滿足a＞0，b＞0，且a2+b2=2，則a+b的最小值為2；
④若實(shí)數(shù)a，b滿足a＞0，b＞0，且a+b=ab，則ab的最大值為4．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，則（a-c）2+（b-d）2的最小值為（　�。�
A、
2
B、2
C、2
2
D、8

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，則（a-c）2+（b-d）2的最小值為（　�。�
A、
2
B、2
C、2
2
D、8

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案