Question

【題目】如圖,直線與圓 且與橢圓相交于兩點(diǎn).

(1)若直線恰好經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn),求弦長(zhǎng)

(2)設(shè)直線的斜率分別為,判斷是否為定值,并說(shuō)明理由

(3)求，面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：(1)由題意設(shè)直線由直線與圓相切可得，可得，故分兩種情況可求得。（2）（ⅰ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，得；（ⅱ）當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 將其代入圓的方程得，根據(jù)斜率公式及根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算可得。從而可得。（3）（ⅰ）當(dāng)斜率不存在或?yàn)?/span>時(shí)，可得。當(dāng)的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)直線，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為

故可得 ，令，則 ，故當(dāng) 有最小值，且 .

試題解析：

（1）由題意直線斜率存在，設(shè)直線

因?yàn)橹本�與圓相切，

所以

解得

當(dāng)時(shí)，由解得，所以

當(dāng)時(shí)，同理

所以。

（2）（�。┊�(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，得；

（ⅱ）當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線

因?yàn)橹本�與圓相切，

所以

整理得所以①，

由消去y整理得，

由直線與圓相交得

設(shè)

則 ，②

所以③，

將①②代入③式得

綜上可得

（3）由（2）知

法一：（ⅰ）當(dāng)斜率不存在或?yàn)?/span>時(shí)，可得,

（ⅱ）當(dāng)的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)直線，

由，解得

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為

同理點(diǎn)B的坐標(biāo)為

所以 ，

令，

所以，

故當(dāng) 有最小值，且 .

綜上可得面積的最小值為 。

法二：記直線與圓的切點(diǎn)為

設(shè)

所以，

則

所以當(dāng)時(shí)， .