Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．

（1）證明：平面AEC；

（2）若，，，求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連BD，設(shè)BD∩AC=O，連EO，根據(jù)E是PD的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，得到．再利用線面平行的判定定理證明.

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面AEC的一個(gè)法向量，又為平面DAE的一個(gè)法向量，然后利用公式求解.

（1）如圖所示：

連BD，設(shè)BD∩AC=O，連EO，

因?yàn)?/span>E是PD的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，

所以．

又因?yàn)?/span>平面AEC，平面AEC，

所以平面AEC；

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，．

設(shè)為平面AEC的一個(gè)法向量，

則，

令，則，

又為平面DAE的一個(gè)法向量，

由向量的夾角公式，可得

所以二面角的平面角的余弦值為．