Question

已知函數(shù)y=f（x）是R上的可導函數(shù)，當x≠0時，有f′(x)+

f(x)

x

＞0，則函數(shù)F(x)=xf(x)+

1

x

的零點個數(shù)是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：將函數(shù)F(x)=xf(x)+

1

x

=0，轉(zhuǎn)化為xf（x）=-

1

x

，然后利用函數(shù)和導數(shù)之間的關系研究函數(shù)g（x）=xf（x）的單調(diào)性和取值范圍，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答：解：由F(x)=xf(x)+

1

x

=0，得xf（x）=-

1

x

，
設 g（x）=xf（x），
則g'（x）=f（x）+xf'（x），
∵x≠0時，有f′(x)+

f(x)

x

＞0，
∴x≠0時，

f(x)+xf′(x)

x

＞0，
即當x＞0時，g'（x）=f（x）+xf'（x）＞0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
此時g（x）＞g（0）=0，
當x＜0時，g'（x）=f（x）+xf'（x）＜0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
此時g（x）＜g（0）=0，
作出函數(shù)g（x）和函數(shù)y=-

1

x

的圖象，（直線只代表單調(diào)性和取值范圍），由圖象可知函數(shù)F(x)=xf(x)+

1

x

的零點個數(shù)為0個．
故選：A．

點評：本題主要考查方程根的個數(shù)的應用，利用方程和函數(shù)之間的關系，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．