Question

【題目】已知點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，到點(diǎn)的距離為，且.直線(xiàn)與橢圓交于不同兩點(diǎn)（都在軸上方），且.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)方程；

（3）對(duì)于動(dòng)直線(xiàn)，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無(wú)論如何變化，直線(xiàn)總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) （3）直線(xiàn)總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

【解析】試題分析：（1） 設(shè),用坐標(biāo)表示條件列出方程化簡(jiǎn)整理可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由（1）可知， ，即可得，由得，寫(xiě)出直線(xiàn)的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式求直線(xiàn)的方程即可；（3）由，得，設(shè)直線(xiàn)方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，由根與系數(shù)關(guān)系計(jì)算得，從而得到直線(xiàn)方程為，從而得到直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).

試題解析： （1）設(shè)，則， ，………………1分

∴，化簡(jiǎn)，得，∴橢圓的方程為.………………3分

（2）， ，∴，………………4分

又∵，∴， .

代入解，得（舍）∴，………………6分

，∴.即直線(xiàn)方程為.………………7分

（3）∵，∴.

設(shè)，，直線(xiàn)方程為.代直線(xiàn)方程入，得

.………………9分

∴，，∴=

，

∴，……………11分

∴直線(xiàn)方程為，

∴直線(xiàn)總經(jīng)過(guò)定點(diǎn).………………12分