【題目】頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸正半軸的拋物線,經(jīng)過點(diǎn)(3,6),
(1)求拋物線截直線y=2x﹣6所得的弦長(zhǎng).
(2)討論直線y=kx+1與拋物線的位置關(guān)系,并求出相應(yīng)的k的取值范圍.
【答案】
(1)
解:由題意可知:設(shè)拋物線的方程為:y2=2px,(p>0),
由拋物線經(jīng)過點(diǎn)(3,6),
∴36=2×p×3,解得:p=6,
∴拋物線方程為:y2=12x,
設(shè)直線y=2x﹣6與拋物線兩交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
由 ,整理得:x2﹣9x+9=0,
由韋達(dá)定理可知:x1+x2=9,x1x2=9,
∴|AB|= = =15,
拋物線截直線y=2x﹣6所得的弦長(zhǎng)15
(2)
解:當(dāng)k=0時(shí),y=1,直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),
當(dāng)k≠0時(shí),由 ,整理得:k2x2+2(k﹣6)x+1=0,
當(dāng)△=4(k﹣6)2﹣4k2>0,解得:k<3,
∴直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),
△=4(k﹣6)2﹣4k2<0,解得:k>3,
直線與拋物線無交點(diǎn),
當(dāng)△=4(k﹣6)2﹣4k2=0,即k=3時(shí),
直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),
綜上可知:當(dāng)k>3時(shí),直線y=kx+1與拋物線相離,即直線與拋物線無交點(diǎn),
當(dāng)k=3時(shí),直線y=kx+1與拋物線相切,直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),
當(dāng)k<3且k≠0,直線與拋物線相交,有兩個(gè)交點(diǎn),
當(dāng)k=0時(shí),直線與拋物線相交,有一個(gè)交點(diǎn)
【解析】(1)由題意設(shè)橢圓的方程為:y2=2px,(p>0),由拋物線經(jīng)過點(diǎn)(3,6),代入即可求得p的值,求得拋物線方程,將y=2x﹣6代入y2=12x,由韋達(dá)定理求得x1+x2=9,x1x2=9,根據(jù)弦長(zhǎng)公式可知:|AB|= ,即可求得拋物線截直線y=2x﹣6所得的弦長(zhǎng);(2)當(dāng)k=0時(shí),y=1,直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)k≠0時(shí),將y=kx+1代入拋物線方程,由△>0,直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),求得k的取值范圍,當(dāng)△<0,直線與拋物線相離,無交點(diǎn),求得k的取值范圍,當(dāng)△=0,直線與拋物線相切,僅有幾個(gè)交點(diǎn),求得k的取值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= +m為奇函數(shù),m為常數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)判斷并證明f(x)的單調(diào)性;
(3)若關(guān)于x的不等式f(f(x))+f(ma)<0有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=m﹣
(1)若f(x)是R上的奇函數(shù),求m的值
(2)用定義證明f(x)在R上單調(diào)遞增
(3)若f(x)值域?yàn)镈,且D[﹣3,1],求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,點(diǎn)M,N,E分別是棱A1B1 , A1D1 , C1D1的中點(diǎn).
(1)過AM作一平面,使其與平面END平行(只寫作法,不需要證明);
(2)在如圖的空間直角坐標(biāo)系中,求直線AM與平面BMND所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:x∈[1,12],x2﹣a≥0.命題q:x0∈R,使得x02+(a﹣1)x0+1<0.若p或q為真,p且q為假,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+4
(1)若f(x)為偶函數(shù),求b的值;
(2)若f(x)有零點(diǎn),求b的取值范圍;
(3)求f(x)在區(qū)間[﹣1,1]上的最大值g(b).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中實(shí)數(shù)為常數(shù),為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),解關(guān)于的不等式;
(3)當(dāng)時(shí),如果函數(shù)不存在極值點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b是從A到B的映射,若1和8的原象分別是3和10,則5在f下的象是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭,獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得 , , , .
(Ⅰ)求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程y=bx+a;
(Ⅱ)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);
(Ⅲ)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄.
附:線性回歸方程y=bx+a中, , ,其中 , 為樣本平均值,線性回歸方程也可寫為 .
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