已知點A、B的坐標分別是(0,-1),(0,1),直線AM、BM相交于點M,且它們的斜率之積為-
1
2

(Ⅰ)求點M的軌跡T的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點E(-1,0)且不與坐標軸垂直的直線交軌跡T于C、D兩點,若線段CD的垂直平分線與x軸交于點F,求點F橫坐標的取值范圍.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)設(shè)M(x,y),由已知條件條件推導出
y+1
x
y-1
x
=-
1
2
,由此能求出動點M的軌跡方程.
(Ⅱ)設(shè)直線CD的方程為y=k(x+1),k≠0,代入
x2
2
+y2=1
,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,記C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中點N(x0,y0),由已知條件推導出CD的垂直平分線的方程為y-y0=-
1
k
(x-x0),由此能求出點F橫坐標的坐標的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)設(shè)M(x,y),∵kAM•kBM=-
1
2
,
y+1
x
y-1
x
=-
1
2

整理,得動點M的軌跡方程為
x2
2
+y2=1
,(x≠0).
(Ⅱ)設(shè)直線CD的方程為y=k(x+1),k≠0,
代入
x2
2
+y2=1
,
整理,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,
∵直線CD過橢圓的左焦點E,
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根,
記C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中點N(x0,y0),
x1+x2=-
4k2
2k2+1
,
x0=-
2k2
2k2+1
,y0=k(x0+1)=
k
2k2+1
,
∴CD的垂直平分線的方程為y-y0=-
1
k
(x-x0),
令y=0,得
xF=x0+ky0
=-
2k2
2k2+1
+
k2
2k2+1

=-
k2
2k2+1

=-
1
2
+
1
4k2+2
,
∴點F橫坐標的坐標的取值范圍為(-
1
2
,0).
點評:本題考查點的軌跡方程的求法,考查點的橫坐標的取值范圍的求法,解題時要認真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運用.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=x2+mx+n(m,n∈R)的值域為[0,+∞),若關(guān)于x的不等式f(x)<a-1的解集為(m-3,m+2),則實數(shù)a的值是(  )
A、
21
4
B、
25
4
C、6
D、
29
4

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已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公比為q,若
S3
S5-S2
=
1
4
,且10是a2,a4的等差中項.
(1)求{an}的通項公式.
(2)若bn=2log2an,求{(-1)nbn2}的前2n項的和T2n

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程序框圖如圖所示:如果上述程序運行的結(jié)果S=1320,那么判斷框中應(yīng)填入
 

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已知平面向量
a
=(cosφ,sinφ),b=(cosx,sinx),其中0<φ<π,且函數(shù)f(x)=(
a
b
)cosx+sin(φ-x)sinx的圖象過點(
π
6
,1).
(Ⅰ)求φ的值;
(Ⅱ)將函數(shù)y=f(x)圖象向右平移
π
6
,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)遞減區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)過點(
2
2
2
)且離心率為
3
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)已知A、B是橢圓C的左、右頂點,動點M滿足MB⊥AB,連接AM交橢圓于點P,在x軸上是否存在異于點A、B的定點Q,使得以MP為直徑的圓經(jīng)過直線BP和直線MQ的交點,若存在,求出Q點,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點M(1,
3
2
),且其右焦點與拋物線C2:y2=4x的焦點F重合,過點F且與坐標軸不垂直的直線與橢圓交于P,Q兩點.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)O為坐標原點,線段OF上是否存在點N(n,0),使得
QP
NP
=
PQ
NQ
?若存在,求出n的取值范圍;若不存在,說明理由;
(3)過點P0(4,0)且不垂直于x軸的直線與橢圓交于A,B兩點,點B關(guān)于x軸的對稱點為E,試證明:直線AE過定點.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

方程sinx+
3
cosx=1在閉區(qū)間[0,2π]上的所有解的和等于
 

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已知由樣本數(shù)據(jù)點集{(xi,yi)|i=1,2,…,n}求得的回歸直線方程為
y
=1.23x+0.08,且
.
x
=4.若去掉兩個數(shù)據(jù)點(4.1,5.7)和(3.9,4.3)后重新求得的回歸直線?的斜率估計值為1.2,則此回歸直線?的方程為
 

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