如圖,在長(zhǎng)方體OABC—O1A1B1C1中,OA=2,AB=3,AA1=2,E是BC的中點(diǎn).

(1)求O1E的長(zhǎng);

(2)求直線AO1與B1E所成的角.

解法一:(1)= +=.

∴||2=(++)2=||2+||2+||2=4+9+1=14.

∴||=14.

(2) =-+,=+=-.

·=(-+)·(-)= ||2-||2=-2.

||=.

||=.

∴cos〈,〉=.

∴〈,〉=arccos(-)=π-arccos.

所成的角為arccos.

解法二:以O(shè)A作為x軸正軸,OC作為y軸正軸,OO1作為z軸正軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

 (1)O1(0,0,2),E(1,3,0),

∴||=.

(2)A(2,0,0),B1(2,3,2),則=(-2,0,2),=(-1,0,-2).

·=(-2)×(-1)+2×(-2)=-2,

||=,| |=.

∴cos〈, 〉=.

故AO1與B1E1所成的角為arccos.

解法三:(1)連結(jié)OE,

在Rt△OEC中,

OE=.

又由O1O⊥平面OABC知O1O⊥OE,

在Rt△O1OE中,O1E=.

(2)連結(jié)BC1,交B1E于F,

則BC1∥AO1.

設(shè)∠BFE=β,∠BEF=α,

則β即為直線AO1與B1E所成的角.

依題意,側(cè)面B1BCC1為正方形,

在Rt△B1BE中,tanα=2,B1E=,sinα=,cosα=.

∴α=arcsin或arccos或arctan2.

∴β=π--α=-arcsin(或β=-arccos或β=-arctan2).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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