Question

如圖，已知拋物線的方程為x²=2px（p＞0，為常數(shù)），過點(diǎn)M（0，m）且傾斜角為θ(0＜θ＜

π

2

)的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，且x1x2=-p2
（1）求m的值
（2）若點(diǎn)M分AB所成的比為λ=

1

2

，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AB方程為y=kx+m，代入x²=2py，得x²-2pkx-2pm=0，由此能求出m．
（2）設(shè)|AA₁|=|AM|=t，則|BB₁|=|BM|=2t，由此得到tanθ=

2t-t

(2t+t)2-t2

=

2

4

，從而能求出AB的方程．

解答：解：（1）設(shè)AB方程為y=kx+m代入x²=2py得x²-2pkx-2pm=0，①（3分）
由x1x2=-p2得，-2pm=-p²
∴2m=p，即m=

p

2

，（6分）
（2）設(shè)|AA₁|=|AM|=t，則|BB₁|=|BM|=2t，
∴tanθ=

2t-t

(2t+t)2-t2

=

2

4

，（10分）
故AB方程為y=

2

4

x+

p

2

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意拋物線性質(zhì)和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．