精英家教網(wǎng)如圖在直角坐標(biāo)系xoy中,圓O與x軸交于A、B兩點(diǎn),且|AB|=4,定直線l垂直于x軸正半軸,且到圓心O的距離為4,點(diǎn)P是圓O上異于A、B的任意一點(diǎn),直線PA、PB分別交l于點(diǎn)M、N.
(1)若∠PAB=30°,求以MN為直徑的圓的方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí),求證:以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)一定點(diǎn).
分析:(1)根據(jù)題意可得圓O方程為x2+y2=4,直線l的方程為x=4.由∠PAB=30°算出直線AP、BP的方程,將x=4分別代入,可得M(4,2
3
)、N(4,-2
3
),由此即可算出以MN為直徑的圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),由圓O的方程可得y02=4-x02.算出直線AP、BP以x0、y0為參數(shù)的方程,從而得到點(diǎn)M、N以x0、y0為參數(shù)的坐標(biāo),算出|MN|=
4|x0-4|
|y0|
且MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-
4(1-x0)
y0
).由此利用垂徑定理加以計(jì)算,得到以MN為直徑的圓截x軸的線段長(zhǎng)為4
3
,從而可得該圓經(jīng)過圓O內(nèi)的定點(diǎn)C(4-2
3
,0)
解答:解:(1)∵圓O的圓心為原點(diǎn)O,直徑|AB|=4,
∴圓O的半徑r=2,可得圓O方程為x2+y2=4,
∵定直線l垂直于x軸正半軸,且到圓心O的距離為4,∴直線l的方程為x=4,
由∠PAB=30°,可得直線AP的斜率k=tan30°=
3
3
,所以直線AP的方程為y=
3
3
 (x+2),
∵AB是圓O的直徑,
∴AP⊥BP,可得直線BP的斜率k'=
-1
k
=-
3
,直線BP的方程為y=-
3
(x-2).
將x=4分別代入直線AP、BP方程,可得M(4,2
3
)、N(4,-2
3
).
∴MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),且MN=4
3

∴以MN為直徑的圓,圓心為(2,0),半徑R=2
3
,可得它的方程為(x-4)2+y2=12.
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則x02+y02=4 (y0≠0),可得y02=4-x02,
∵直線AP的方程為y=
y0
x0+2
(x+2),直線BP的方程為y=
y0
x0-2
(x-2),精英家教網(wǎng)
將x=4代入,可得M的縱坐標(biāo)yM=
6y0
x0+2
,N的縱坐標(biāo)yN=
2y0
x0-2

∴M(4,
6y0
x0+2
)、N(4,
2y0
x0-2
),
可得|MN|=|
6y0
x0+2
-
2y0
x0-2
|=
4|x0-4|
|y0|
,
且MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-
4(1-x0)
y0
).
由此可得以MN為直徑的圓,圓心為(4,-
4(1-x0)
y0
),
半徑等于
2|x0-4|
|y0|

由垂徑定理,可得此圓截x軸的線段長(zhǎng)度為:
|CD|=2
4(x0-4)2
y02
-
16(1-x0)2
y02
=
4
|y0|
12-3x02
=
4
3
|y0|
4-x02
=4
3
(定值).
又∵直線MN經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)Q(4,0),Q為線段CD的中點(diǎn),
∴以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的定點(diǎn)C(4-2
3
,0)
點(diǎn)評(píng):本題給出以原點(diǎn)為圓心的圓和直線l上的點(diǎn)M、N滿足的條件,求以MN為直徑的圓的方程及其性質(zhì).著重考查了求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直角坐標(biāo)系xOy中,一直角三角形ABC,∠C=90°,B、C在x軸上且關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,D在邊BC上,BD=3DC,△ABC的周長(zhǎng)為12.若一雙曲線E以B、C為焦點(diǎn),且經(jīng)過A、D兩點(diǎn).
(1)求雙曲線E的方程;
(2)若一過點(diǎn)P(m,0)(m為非零常數(shù))的直線l與雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N,且
MP
PN
,問在x軸上是否存在定點(diǎn)G,使
BC
⊥(
GM
GN
)
?若存在,求出所有這樣定點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
3
2
,A1,A2分別是橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn),圓A1的半徑為a,過點(diǎn)A2作圓A1的切線,切點(diǎn)為P,在x軸的上方交橢圓于點(diǎn)Q.則
PQ
QA2
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)橢圓C:(ab>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2.過右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線l與橢圓C相交,其中一個(gè)交點(diǎn)為M(,1).

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,-b),直線BF2交橢圓C于另一點(diǎn)N,求△F1BN的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,△AiBiAi+1 (i=1,2,…,n,…)為正三角形,,|AiAi+1|=2i-1(i=1,2,3,…,n,…).

(1)求證:點(diǎn)B1,B2,…,Bn,…在同一條拋物線上,并求該拋物線C的方程;

(2)設(shè)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)O,點(diǎn)B1關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′在y軸上,求直線l的方程;

(3)直線m過(1)中拋物線C的焦點(diǎn)F并交CM、N,若(λ>0),拋物線C的準(zhǔn)線nx軸交于E,求證:的夾角為定值.

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