Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)的奇偶性；

（2）對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)， ；

（3）對(duì)任何實(shí)數(shù)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)為上的奇函數(shù)；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性即可，(2)根據(jù)題意有兩種情形：①若，②，求出的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)證明即可；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為，換元后，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出，即可得的取值范圍.

試題解析：

（1）任取，則，

，

任取，則，

，

又，所以對(duì)于任意的，均有，

所以函數(shù)為上的奇函數(shù).

（2）任取，當(dāng)時(shí)，（不妨令），

有下列兩種情形：（1）若，

則；

（2）若，則，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，即.

（3）由（1）（2）得：

對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，

則對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，

所以函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，

即為，

所以.

所以原題意等價(jià)于對(duì)于任何實(shí)數(shù)恒成立，

只需，而，

所以.