已知向量
a
=(sin2
π+2x
4
，cosx+sinx)，
b
=(4sinx，cosx-sinx)，f(x)=
a
•
b

（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積．
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換以及兩個向量數(shù)量積公式化簡f（x）的解析式為2sinx+1．
 （2）f（x）的圖象與x軸的正半軸的第一個交點為(
7π
6
，0)，可得f（x）的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積S=
∫
7π
6
0
(2sinx+1)dx，運算求得結(jié)果．
解答：解：（1）f(x)=sin2
π+2x
4
•4sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx)----（2分）
=4sinx•
1-cos(
π
2
+x)
2
+cos2x=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx+1 
∴f（x）=2sinx+1．------（7分）
（2）令f（x）=2sinx+1=0，可得sinx=-
1
2
，∴x=2kπ-
π
6
，k∈z．
f（x）的圖象與x軸的正半軸的第一個交點為(
7π
6
，0)------（9分）
∴f（x）的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積
S=
∫
7π
6
0
(2sinx+1)dx=（-2cosx+x）
/
7π
6
0
=（-2cos
7π
6
+
7π
6
）-（-2cos0+0）
=2+
3
+
7π
6
------（13分）
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換以及兩個向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，利用定積分求圖形的面積，化簡f（x）的解析式為2sinx+1，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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