Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+m

2x-1

為奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）用定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用奇函數(shù)的定義，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到m=1；
（2）運(yùn)用定義證明，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟．

解答： （1）解：由于f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
即有

2-x+m

2-x-1

=-

2x+m

2x-1

，
即

1+m•2x

1-2x

=

m+2x

1-2x

，即有1+m•2^x=m+2^x，
解得m=1；
（2）證明：由f（x）=

2x+1

2x-1

，
設(shè)0＜m＜n，則f（m）-f（n）=

2m+1

2m-1

-

2n+1

2n-1

=

2(2n-2m)

(2m-1)(2n-1)

，
由于0＜m＜n，則2^m＜2ⁿ，即2ⁿ-2^m＞0，2^m＞1，2ⁿ＞1，
則有f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n）．
則f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．