(08年長(zhǎng)郡中學(xué)一模理)(12分)已知在多面體ABCDE中,AB⊥平面ACD,DEAB,AC = AD = CD = DE = 2,

FCD的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:AF⊥平面CDE

(Ⅱ)求平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大。

(Ⅲ)求點(diǎn)A到平面BCD的距離的取值范圍.

 

解析:(Ⅰ)證明:∵AB⊥平面ACD,ABDE,∴DE⊥平面ACD,∵AF平面ACD

DEAF.又∵AC=AD=CD,FCD中點(diǎn),∴AFCD

DEÌ平面CDECDÌ平面CDE,CDDED,∴AF⊥平面CDE

   (Ⅱ)解法一:∵ABDE,AB(/平面CDEDEÌ平面CDE,∴AB∥平面CDE,設(shè)平面ABC∩平面CDEl,則lAB.即平面ABC與平面CDE所成的二面角的棱為直線l

AB^平面ADC,∴l^平面ADC.∴l^AC,l^DC.∴ÐACD為平面ABC與平面CDE所成二面角的平面角.∵ACADCD,∴ÐACD=60°,∴平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小為60°.

(Ⅱ)解法二:如圖,以F為原點(diǎn),過F平行于DE的直線為x軸,FC,FA所在直線為y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.∵AC=2,∴A(0,0,),設(shè)ABxB(x,0,),C(0,1,0)

((AB=(x,0,0),((AC=(0,1,-),設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n=(a,b,c),

則由((AB×n=0,((AC×n=0,得a=0,bc,不妨取c=1,則n=(0,,1).

AF^平面CDE,∴平面CDE的一個(gè)法向量為((FA=(0,0,).

cos<n,((FA>= eq \o(\s\up8(((FA=,<n,((FA>=60°.

∴平面ABC與平面CDE所成的小于90°的二面角的大小為60°.

 

 

                     

 
 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)求甲獲得小組第一且丙獲得小組第二的概率;

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(Ⅰ)求證:PQBD

(Ⅱ)求二面角P-BD-Q的余弦值;    

(Ⅲ)求點(diǎn)P到平面QBD的距離;

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  ①若在區(qū)間上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

②若過點(diǎn)可作函數(shù)圖象的三條切線,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

③設(shè)點(diǎn),,記點(diǎn),求證:在區(qū)間內(nèi)至少有一實(shí)數(shù),使得函數(shù)圖象在處的切線平行于直線。

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