Question

設(shè)a（0＜a＜1）是給定的常數(shù)，f（x）是R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，若f（

1

2

）=0，f（log_at）＞0，則t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：利用條件得f（x）在（-

1

2

，0）和（

1

2

，+∞）上函數(shù)值為正，把f（log_at）＞0轉(zhuǎn)化為log_at＞

1

2

或-

1

2

＜log_at＜0，再利用底數(shù)小于1的對(duì)數(shù)函數(shù)是減函數(shù)即可求t的取值范圍．

解答：解：∵f（x）是R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴在（-∞，0）上是增函數(shù)，又f（

1

2

）=0，
可得f（-

1

2

）=-f（

1

2

）=0，
∴f（x）在（-

1

2

，0）和（

1

2

，+∞）上函數(shù)值為正
∴f（log_a^t）＞0轉(zhuǎn)化為log_at＞

1

2

或-

1

2

＜log_at＜0，
又∵0＜a＜1
∴l(xiāng)og_at＞

1

2

=log_aa 

1

2

，可得0＜t＜

a

，
-

1

2

＜log_at＜0，1＜t＜

1

a

，
故答案為（1，

1

a

）∪（0，

a

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，在利用單調(diào)性解題時(shí)遵循原則是：增函數(shù)自變量越大函數(shù)值越大，減函數(shù)自變量越小函數(shù)值越小．