Question

已知橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為和，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點．
（1）求此橢圓的方程；
（2）若，求k的值；
（3）求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得=1．（2）直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx（k＞0）．設(shè)D（x，kx），E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，且x₁，x₂滿足方程（1+4k²）x²=4，故x₂=-x₁=．由此能求出k的值．
（3）根據(jù)點到直線的距離公式，知點E，F(xiàn)到AB的距離，分別求出為h₁，h₂，|AB|==，由此能求出四邊形AEBF的面積的最大值．
解答：解：（1）由題意=1．
（2）直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx（k＞0）．
設(shè)D（x，kx），E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，
且x₁，x₂滿足方程（1+4k²）x²=4，
故x₂=-x₁=．
由；
由D在AB上知x+2kx=2，
得x=．
所以．
（3）根據(jù)點到直線的距離公式知，
點E，F(xiàn)到AB的距離分別為
h₁=，
又|AB|==，
所以四邊形AEBF的面積為
S=．
當(dāng)2k=1，即當(dāng)k=．
點評：本題考查直線和橢圓的綜合應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．