Question

如圖，從橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F₁，又點A是橢圓與x軸正半軸的交點，點B是橢圓與y軸正半軸的交點，且AB∥OP，|F1A|=

10

+

5

，
（1）求橢圓E的方程．
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點C，D，且

OC

⊥

OD

？若存在，寫出該圓的方程，并求|CD|的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）易求點P坐標，由k_OP=k_AB，由斜率公式可得b，c關(guān)系，進而可得a，c關(guān)系，由|F1A|=

10

+

5

得關(guān)于a，c的方程，可求得c，進而可得a，b；
（2）假設(shè)存符合題意的圓，切線與橢圓的交點為C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），當(dāng)該圓的切線不垂直x軸時，設(shè)其方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立消掉y可得x的二次方程，則△＞0①，由

OC

⊥

OD

，得x₁x₂+y₁y₂=0，代入韋達定理可得k，m的關(guān)系式②，由①②可求得m的范圍，根據(jù)直線與圓相切可求得半徑r，圓的方程，當(dāng)切線斜率不存在時，求出切線方程、交點坐標可檢驗條件；當(dāng)切線斜率不存在時易求|CD|；當(dāng)切線存在斜率時，由弦長公式可用k表示出|CD|，再分k=0，k≠0兩種情況求得其范圍；

解答：解：（1）由題意可求點P的坐標為(-c，

b2

a

)，由AB∥OP得，

kOP=kAB⇒- b2 ac =- b a ⇒b=c，a= 2 c |F1A|=a+c=(1+ 2 )c= 10 + 5 ⇒c= 5

∴a=

10

，b=

5

，
橢圓E的方程為

x2

10

+

y2

5

=1；
（2）假設(shè)存符合題意的圓，切線與橢圓的交點為C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
當(dāng)該圓的切線不垂直x軸時，設(shè)其方程為y=kx+m，
由方程組

y=kx+m x2 10 + y2 5 =1

，得x²+2（kx+m）²=10，即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-10=0，
則△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-10）=8（10k²-m²+5）＞0，即10k²-m²+5＞0，

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-10 1+2k2

，
∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

k2(2m2-10)

1+2k2

-

4k2m2

1+2k2

+m2=

m2-10k2

1+2k2

，
要使

OC

⊥

OD

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即

2m2-10

1+2k2

+

m2-10k2

1+2k2

=0，
∴3m²-10k²-10=0，∴k2=

3m2-10

10

≥0，
又10k²-m²+5＞0，∴

2m2＞5 3m2≥10

，
∴m2≥

10

3

，即m≥

30

3

或m≤-

30

3

，
∵直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，
∴圓的半徑為r=

|m|

1+k2

，r2=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-10 10

=

10

3

，
所求的圓為x2+y2=

10

3

，
此時圓的切線y=kx+m都滿足m≥

30

3

或m≤-

30

3

；
而當(dāng)切線的斜率不存在時，切線為x=±

30

3

，與橢圓

x2

10

+

y2

5

=1的兩個交點為(

30

3

，±

30

3

)或(-

30

3

，±

30

3

)，滿足

OC

⊥

OD

；
綜上所述，存在圓心在原點的圓x2+y2=

10

3

，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點C，D，且

OC

⊥

OD

．
∵

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-10 1+2k2

，
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-

4km

1+2k2

)2-4×

2m2-10

1+2k2

=

8(10k2-m2+5)

(1+2k2)2

，
∴|CD|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

40 3 • 4k4+5k2+1 4k4+4k2+1

=

40 3 (1+ k2 4k4+4k2+1 )

，
①當(dāng)k≠0時，|CD|=

40 3 (1+ 1 4k2+ 1 k2 +4 )

，
∵4k2+

1

k2

+4≥8，∴0＜

1

4k2+ 1 k2 +4

≤

1

8

，
∴

40

3

＜

40

3

[1+

1

4k2+ 1 k2 +4

]≤15，
∴

2 30

3

＜|CD|≤

15

，當(dāng)且僅當(dāng)k=±

2

2

時取”=”．
②當(dāng)k=0時，易求|CD|=

2 30

3

；
③當(dāng)CD的斜率不存在時，兩個交點為(

30

3

，±

30

3

)或(-

30

3

，±

30

3

)，∴此時|CD|=

2 30

3

；
綜上所述，|CD|的取值范圍為

2 30

3

≤|CD|≤

15

，即：|CD|∈[

2 30

3

，

15

]．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓標準方程的求解，考查分類討論思想、函數(shù)思想，考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題解決問題的能力，本題綜合性強，運算量大，能力要求較高．