Question

（2012•黃浦區(qū)一模）已知兩點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），點(diǎn)P（x，y）是直角坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，若將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)保持不變、縱坐標(biāo)擴(kuò)大到

2

倍后得到點(diǎn)Q（x，

2y

）滿足

AQ

•

BQ

=1．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)B作斜率為-

2

2

的直線i交曲線C于M、N兩點(diǎn)，且滿足

OM

+

ON

+

OH

=

0

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），試判斷點(diǎn)H是否在曲線C上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）確定向量AQ，BQ的坐標(biāo)，利用

AQ

•

BQ

=1，即可求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的軌跡方程；
（2）求出直線方程與橢圓聯(lián)立，利用

OM

+

ON

+

OH

=

0

，求得點(diǎn)H的坐標(biāo)代入曲線C的方程，驗(yàn)證可得結(jié)論．

解答：解（1）依據(jù)題意，有

AQ

 =(x+1，

2

y)，

BQ

=(x-1，

2

y)．
∵

AQ

•

BQ

=1，∴x²-1+2y²=1．
∴動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的軌跡方程是

x2

2

+y²=1．
（2）因直線l過點(diǎn)B，且斜率為k=-

2

2

，故有l(wèi)：y=-

2

2

（x-1）
聯(lián)立直線與橢圓，消元可得2x²-2x-1=0．
設(shè)兩曲線的交點(diǎn)為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），可得得 x₁+x₂=1，x₁x₂=-

1

2

，
于是 x₁+x₂=1，y₁+y₂=

2

2

．
又

OM

+

ON

+

OH

=

0

，于是

OH

=（-x₁-x₂，-y₁-y₂），可得點(diǎn)H（-1，-

2

2

）．
將點(diǎn)H（-1，-

2

2

）的坐標(biāo)代入曲線C的方程的左邊，有

1

2

+

1

2

=1（=右邊），即點(diǎn)H的坐標(biāo)滿足曲線C的方程．
所以點(diǎn)H在曲線C上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．