已知向量
m
=(sin
A
2
，-1)，
n
=(2，cos(B+C))，A，B，C為銳角△ABC的內(nèi)角，其對應(yīng)邊為a，b，c．
（Ⅰ）當(dāng)
m
•
n
取得最大值時，求角A的大��；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的條件下，當(dāng)a=
3
時，求b2+c2的取值范圍．
分析：（I）根據(jù)向量數(shù)量積的公式，化簡得
m
•
n
=cosA+2sin
A
2
，結(jié)合二倍角的余弦公式化簡得
m
•
n
=-2（sin
A
2
-
1
2
）2+
3
2
，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得
m
•
n
取得最大值時，sin
A
2
=
1
2
，結(jié)合A為三角形的內(nèi)角算出A=
π
3
；
（II）由A=
π
3
且a=
3
，利用余弦定理化簡得b2+c2-bc=3，根據(jù)基本不等式bc≤
1
2
（b2+c2），算出b2+c2≤6．在根據(jù)三角形中b+c＞a，即可得出b2+c2的取值范圍．
解答：解：（I）∵向量
m
=(sin
A
2
，-1)，
n
=(2，cos(B+C))，
∴
m
•
n
=2sin
A
2
-cos（B+C）
=cosA+2sin
A
2
=-2sin2
A
2
+2sin
A
2
+1=-2（sin
A
2
-
1
2
）2+
3
2

因此，當(dāng)
m
•
n
取得最大值時，sin
A
2
=
1
2
，
結(jié)合A為三角形的內(nèi)角，可得
A
2
=
π
6
，得A=
π
3
；
（II）在（Ⅰ）成立的條件下，A=
π
3

∵a=
3
，∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得b2+c2-bc=3
因此，b2+c2-3=bc≤
1
2
（b2+c2），可得b2+c2≤6
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=
3
時，等號成立
又∵△ABC中，b+c＞a
∴3＜b2+c2≤6，即b2+c2的取值范圍（3，6]．
點評：本題給出向量含有三角函數(shù)式的坐標(biāo)，求角A的大小并求b2+c2的取值范圍，著重考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式、余弦定理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，則sin2θ的值為
 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，設(shè)函數(shù)f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后將圖象向下平移
1
2
個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間上[0，
3π
4
]上的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，當(dāng)θ∈[0，π]時，函數(shù)f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面積．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案