【題目】已知函數(shù)f(x)=ae2x﹣be﹣2x﹣cx(a,b,c∈R)的導函數(shù)f′(x)為偶函數(shù),且曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線的斜率為4﹣c.
(1)確定a,b的值;
(2)若c=3,判斷f(x)的單調(diào)性;
(3)若f(x)有極值,求c的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)=ae2x﹣be﹣2x﹣cx(a,b,c∈R)
∴f′(x)=2ae2x+2be﹣2x﹣c,
由f′(x)為偶函數(shù),可得2(a﹣b)(e2x﹣e﹣2x)=0,
即a=b,
又∵曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線的斜率為4﹣c,
即f′(0)=2a+2b﹣c=4﹣c,
故a=b=1;
(2)解:當c=3時,f′(x)=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2 =1>0恒成立,
故f(x)在定義域R為均增函數(shù);
(3)解:由(1)得f′(x)=2e2x+2e﹣2x﹣c,
而2e2x+2e﹣2x≥2 =4,當且僅當x=0時取等號,
當c≤4時,f′(x)≥0恒成立,故f(x)無極值;
當c>4時,令t=e2x,方程2t+ ﹣c=0的兩根均為正,
即f′(x)=0有兩個根x1,x2,
當x∈(x1,x2)時,f′(x)<0,當x∈(﹣∞,x1)∪(x2,+∞)時,f′(x)>0,
故當x=x1,或x=x2時,f(x)有極值,
綜上,若f(x)有極值,c的取值范圍為(4,+∞)
【解析】(1)根據(jù)函數(shù)f(x)=ae2x﹣be﹣2x﹣cx(a,b,c∈R)的導函數(shù)f′(x)為偶函數(shù),且曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線的斜率為4﹣c,構(gòu)造關(guān)于a,b的方程,可得a,b的值;(2)將c=3代入,利用基本不等式可得f′(x)≥0恒成立,進而可得f(x)在定義域R為均增函數(shù);(3)結(jié)合基本不等式,分c≤4時和c>4時兩種情況討論f(x)極值的存在性,最后綜合討論結(jié)果,可得答案
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】中國古代儒家要求學生掌握六種基本才藝:禮、樂、射、御、書、數(shù),簡稱“六藝”,某中學為弘揚“六藝”的傳統(tǒng)文化,分別進行了主題為“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六場傳統(tǒng)文化知識的競賽,現(xiàn)有甲、乙、丙三位選手進入了前三名的最后角逐、規(guī)定:每場知識競賽前三名的得分都分別為(,且);選手最后得分為各場得分之和,在六場比賽后,已知甲最后得分為26分,乙和丙最后得分都為11分,且乙在其中一場比賽中獲得第一名,則下列推理正確的是( )
A. 每場比賽第一名得分為4 B. 甲可能有一場比賽獲得第二名
C. 乙有四場比賽獲得第三名 D. 丙可能有一場比賽獲得第一名
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,滿足Sn=2an-2 (n∈N*)
(1)求的值,并由此猜想數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)用數(shù)學歸納法證明(Ⅰ)中的猜想.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ ≤φ< )的圖象關(guān)于直線x= 對稱,且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若f( )= ( <α< ),求cos(α+ )的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界.已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)在上的值域,并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)在上是以4為上界的有界函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2002年北京國際數(shù)學家大會會標,是以中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)而設(shè)計的,弦圖用四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形如圖,若大、小正方形的面積分別為25和1,直角三角形中較大銳角為,則等于
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)橢圓C: (a>b>0),動直線l與橢圓C只有一個公共點P,且點P在第一象限.
(1)已知直線l的斜率為k,用a,b,k表示點P的坐標;
(2)若過原點O的直線l1與l垂直,證明:點P到直線l1的距離的最大值為a﹣b.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】射擊測試有兩種方案,方案1:先在甲靶射擊一次,以后都在乙靶射擊;方案2:始終在乙靶射擊,某射手命中甲靶的概率為,命中一次得3分;命中乙靶的概率為,命中一次得2分,若沒有命中則得0分,用隨機變量表示該射手一次測試累計得分,如果的值不低于3分就認為通過測試,立即停止射擊;否則繼續(xù)射擊,但一次測試最多打靶3次,每次射擊的結(jié)果相互獨立。
(1)如果該射手選擇方案1,求其測試結(jié)束后所得分的分布列和數(shù)學期望E;
(2)該射手選擇哪種方案通過測試的可能性大?請說明理由。
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