Question

（07年上海卷文）（14分）

我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，，． 如圖，設(shè)點(diǎn)，，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，，和，是“果圓” 與，軸的交點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．

（1）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；

（2）設(shè)是“果圓”的半橢圓上任意一點(diǎn)．求證：當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處；

    （3）若是“果圓”上任意一點(diǎn)，求取得最小值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

Answer 1

解析：（1） ，

，于是，

所求“果圓”方程為，． 

（2）設(shè)，則

，

     ， 的最小值只能在或處取到．

     即當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處．                   

    （3），且和同時(shí)位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可．

．

    當(dāng)，即時(shí)，的最小值在時(shí)取到，

此時(shí)的橫坐標(biāo)是．                                       

    當(dāng)，即時(shí)，由于在時(shí)是遞減的，的最小值在時(shí)取到，此時(shí)的橫坐標(biāo)是．                               

綜上所述，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；

若，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或．