Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+=0相切
∴，∴b=1
∵橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，
∴∴
∴a²=2
∴橢圓C的方程為：…（4分）
（2）由題意知直線AB的斜率存在．
設(shè)AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
代入橢圓方程，消元可得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
∴△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，∴．
∵
∴x==，y=（8分）
∵點(diǎn)P在橢圓上，∴，
∴16k²=t²（1+2k²）…（10分）
∴，
∵，∴t²∈（0，4）
∴t∈（-2，0）∪（0，2）…（12分）
分析：（1）利用直線與圓相切的充要條件列出方程求出b的值，利用橢圓的離心率公式得到a，c的關(guān)系，再利用橢圓本身三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出a，c的值，將a，b的值代入橢圓的方程即可；
（2）設(shè)AB的方程代入橢圓方程，消元可得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，利用確定A，B，P三點(diǎn)之間的關(guān)系，利用點(diǎn)P在橢圓上，建立方程，從而可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查圓錐曲線的方程，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程．