已知f(x)=xlnx,g(x)=
12
x2-x+a

(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)y=g(x)在[0,3]上的值域
(2)求函數(shù)f(x)在[t,t+2]上的最小值.
分析:(1)把a(bǔ)=2代入g(x),對(duì)g(x)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)在閉區(qū)間[0,3]上的最值,從而求解;
(2)對(duì)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),研究其單調(diào)性,再對(duì)t進(jìn)行討論,求出函數(shù)f(x)在[t,t+2]上的最小值.
解答:解:(1)∵已知f(x)=xlnx,g(x)=
1
2
x2-x+a
,a=2
∴g(x)=
1
2
x2-x+2
,可得g′(x)=x-1,
若x>1,g′(x)>0,g(x)為增函數(shù);
若x<1,g′(x)<0,g(x)為減函數(shù);
f(x)在x=1處取得極小值,也是最小值,f(x)min=f(1)=
1
2
-1+2
=
3
2
;
f(0)=2,f(3)=
9
2
-3+2=
7
2
,
∴函數(shù)y=g(x)在[0,3]上的值域?yàn)閇
3
2
,
7
2
];
(2)∵f′(x)=1+lnx(x>0),令f′(x)=0,可得x=
1
e
,
若x>
1
e
時(shí),f′(x)>0,f(x)為增函數(shù);
若0<x
1
e
時(shí),f′(x)<0,f(x)為減函數(shù);t>0
若0<t≤
1
e
時(shí),因?yàn)閰^(qū)間長(zhǎng)度為2,可以取到極小值點(diǎn)x=
1
e
,也是最小值點(diǎn),
∴f(x)min=f(
1
e
)=
1
e
ln
1
e
=-
1
e
;
若t>
1
e
時(shí),f(x)在[t,t+2]上為增函數(shù),
∴f(x)min=f(t)=tlnt;
∴綜上:若0<t≤
1
e
,f(x)min=
1
e
;
若t>
1
e
時(shí),f(x)min=tlnt;
點(diǎn)評(píng):此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題,解題的過(guò)程中用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想,此題是一道中檔題;
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2010•綿陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x)=xln x(x>0).
(1)若b≥
1
e
,求證bbe
1
e
(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù));
(2)設(shè)F(x)=f(x)+(a-1)x(x≥1,a∈R),試問(wèn)函數(shù)F(x)是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•廣州一模)已知函數(shù)f(x)=ax+xln|x+b|是奇函數(shù),且圖象在點(diǎn)(e,f(g))處的切線斜率為3(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求實(shí)數(shù)a、b的值;
(2)若k∈Z,且k<
f(x)x-1
對(duì)任意x>l恒成立,求k的最大值;
(3)當(dāng)m>n>l(m,n∈Z)時(shí),證明:(nmmn>(mnnm
(注:本題第(2)(3)兩問(wèn)只需要解答一問(wèn),兩問(wèn)都答只計(jì)第(2)問(wèn)得分)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:044

(2007成都模擬)已知函數(shù)f(x)=xln x

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;

(2)當(dāng)b>0時(shí),求證:(其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù));

(3)若a>0,b>0,證明:f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:0110 月考題 題型:解答題

已知a∈R,函數(shù)f(x)=xln(-x)+(a-1)x,(注:[ln(-x)] ′=
(Ⅰ)若f(x)在x=-e處取得極值,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-e2,-e-1]上的最大值g(a)。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xln(1+x)-a(x+1),其中a為常數(shù).

(Ⅰ)若當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),f′(x)>0恒成立,求a的取值范圍;

(Ⅱ)求g(x)=f′(x)的單調(diào)區(qū)間.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案