(2007成都模擬)已知函數(shù)f(x)=xln x．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；

(2)當(dāng)b＞0時，求證:(其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))；

(3)若a＞0，b＞0，證明：f(a)＋(a＋b)ln2≥f(a＋b)－f(b).
答案：略
解析：

解析：(1)∵(x＞0)，令，即．

∵e=2.71828…＞1，∴y=lnx在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．

∴．∴．同理，令可得．

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為．

由此可知．

(2)由(1)可知當(dāng)b＞0時，

有，∴，

即．

∴．

(3)將變形，得，

即證

設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)＋f(k－x)(k＞0)．

∵f(x)=xlnx，

∴g(x)=xlnx＋(k－x)ln(k－x)，

∴0＜x＜k．

∵，令，

則有．

∴函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

∴函數(shù)g(x)的最小值為，即總有．

而，

∴，

即．

令x=a，k－x=b，則k=a＋b．

∴．

∴．


練習(xí)冊系列答案
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