【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知PB⊥底面ABCD,,,,,異面直線PA和CD所成角等于60°.
(1)求直線PC和平面PAD所成角的正弦值的大。
(2)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角A-BE-D的余弦值為?若存在,指出點(diǎn)E在棱PA上的位置;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)棱上是存在一點(diǎn),使得二面角的余弦值為,此時(shí).
【解析】
(1)先證明,,從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,再利用及異面直線和所成角等于求出的坐標(biāo),求出平面的法向量后可求線面角的正弦值.
(2)設(shè),從而可用表示的坐標(biāo),進(jìn)而可用表示平面的法向量,最后利用給定的二面角的余弦值得到關(guān)于的方程,解出即可得到所求的的位置.
(1)因?yàn)?/span>底面,底面,故,同理.
又因?yàn)?/span>,故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,
.
設(shè),,其中,
則,,,
因?yàn)?/span>,故,所以,
所以,.
因?yàn)楫惷嬷本和所成角等于,
故,解得或(舍),
所以,,.
設(shè)平面的法向量為,
由可得,取,則,故.
又,設(shè)直線與平面所成的角為,
則.
(2)設(shè),,則,所以.
又,,
設(shè)平面的法向量為,
由可得,取,則,
故.
又平面的法向量為,而二面角的余弦值為,
所以,解得或(舍),
所以棱上是存在一點(diǎn),使得二面角的余弦值為,
此時(shí).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在信息時(shí)代的今天,隨著手機(jī)的發(fā)展,“微信”越來(lái)越成為人們交流的一種方法,某機(jī)構(gòu)對(duì)“使用微信交流”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽取了100人,他們年齡的頻數(shù)分布及對(duì)“使用微信交流”贊成的人數(shù)如下表:(注:年齡單位:歲)
年齡 | ||||||
頻數(shù) | 10 | 30 | 30 | 20 | 5 | 5 |
贊成人數(shù) | 9 | 25 | 24 | 9 | 2 | 1 |
(1)若以“年齡45歲為分界點(diǎn)”,由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表,并通過(guò)計(jì)算判斷是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為“使用微信交流的態(tài)度與人的年齡有關(guān)”?
年齡不低于45歲的人數(shù) | 年齡低于45歲的人數(shù) | 合計(jì) | |
贊成 | |||
不贊成 | |||
合計(jì) |
(2)若從年齡在,調(diào)查的人中各隨機(jī)選取1人進(jìn)行追蹤調(diào)查,求選中的2人中贊成“使用微信交流”的人數(shù)恰好為1人的概率.
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的短軸長(zhǎng)為,直線與橢圓相交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.當(dāng)與連線的斜率為時(shí),直線的傾斜角為
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn),求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若在處取得極值,求實(shí)數(shù)的值;
(2)對(duì)任意實(shí)數(shù),都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),證明:存在唯一,使得,且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)若,求在處的切線方程;
(2)若對(duì)于任意的正數(shù),恒成立,求實(shí)數(shù)的值;
(3)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在邊長(zhǎng)為4的正方形中,點(diǎn)E、F分別為邊的中點(diǎn),以和為折痕把和折起,使點(diǎn)B、D重合于點(diǎn)P位置,連結(jié),得到如圖所示的四棱錐.
(1)在線段上是否存在一點(diǎn)G,使與平面平行,若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
(2)求點(diǎn)A到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“總把新桃換舊符”(王安石)、“燈前小草寫桃符”(陸游),春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日,在宋代人們用寫“桃符”的方式來(lái)祈福避禍,而現(xiàn)代人們通過(guò)貼“福”字、貼春聯(lián)、掛燈籠等方式來(lái)表達(dá)對(duì)新年的美好祝愿,某商家在春節(jié)前開(kāi)展商品促銷活動(dòng),顧客凡購(gòu)物金額滿50元,則可以從“!弊帧⒋郝(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費(fèi)領(lǐng)取一件,若有4名顧客都領(lǐng)取一件禮品,則他們中有且僅有2人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展,網(wǎng)上購(gòu)物越來(lái)越受到人們的喜愛(ài),各大購(gòu)物網(wǎng)站為增加收入,促銷策略越來(lái)越多樣化,促銷費(fèi)用也不斷增加.下表是某購(gòu)物網(wǎng)站2017年1-8月促銷費(fèi)用(萬(wàn)元)和產(chǎn)品銷量(萬(wàn)件)的具體數(shù)據(jù).
(1)根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的散點(diǎn)圖能夠看出可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明;(系數(shù)精確到0.001)
(2)建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);如果該公司計(jì)劃在9月份實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品銷量超6萬(wàn)件,預(yù)測(cè)至少需投入促銷費(fèi)用多少萬(wàn)元(結(jié)果精確到0.01).
參考數(shù)據(jù): , , , , ,其中, 分別為第個(gè)月的促銷費(fèi)用和產(chǎn)品銷量, .
參考公式:(1)樣本的相關(guān)系數(shù)
(2)對(duì)于一組數(shù)據(jù), , , ,其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為, .
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