【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知PB⊥底面ABCD,,,,異面直線PACD所成角等于60°.

1)求直線PC和平面PAD所成角的正弦值的大。

2)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角A-BE-D的余弦值為?若存在,指出點(diǎn)E在棱PA上的位置;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】1;(2)棱上是存在一點(diǎn),使得二面角的余弦值為,此時(shí).

【解析】

1)先證明,從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,再利用及異面直線所成角等于求出的坐標(biāo),求出平面的法向量后可求線面角的正弦值.

2)設(shè),從而可用表示的坐標(biāo),進(jìn)而可用表示平面的法向量,最后利用給定的二面角的余弦值得到關(guān)于的方程,解出即可得到所求的的位置.

1)因?yàn)?/span>底面底面,故,同理.

又因?yàn)?/span>,故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,

.

設(shè),,其中

,,

因?yàn)?/span>,故,所以,

所以.

因?yàn)楫惷嬷本所成角等于,

,解得(舍),

所以,,.

設(shè)平面的法向量為

可得,取,則,故.

,設(shè)直線與平面所成的角為,

.

2)設(shè),,則,所以.

,,

設(shè)平面的法向量為,

可得,取,則,

.

又平面的法向量為,而二面角的余弦值為,

所以,解得(舍),

所以棱上是存在一點(diǎn),使得二面角的余弦值為,

此時(shí).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在信息時(shí)代的今天,隨著手機(jī)的發(fā)展,“微信”越來(lái)越成為人們交流的一種方法,某機(jī)構(gòu)對(duì)“使用微信交流”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽取了100人,他們年齡的頻數(shù)分布及對(duì)“使用微信交流”贊成的人數(shù)如下表:(注:年齡單位:歲)

年齡

頻數(shù)

10

30

30

20

5

5

贊成人數(shù)

9

25

24

9

2

1

(1)若以“年齡45歲為分界點(diǎn)”,由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表,并通過(guò)計(jì)算判斷是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為“使用微信交流的態(tài)度與人的年齡有關(guān)”?

年齡不低于45歲的人數(shù)

年齡低于45歲的人數(shù)

合計(jì)

贊成

不贊成

合計(jì)

(2)若從年齡在調(diào)查的人中各隨機(jī)選取1人進(jìn)行追蹤調(diào)查,求選中的2人中贊成“使用微信交流”的人數(shù)恰好為1人的概率.

0.025

0.010

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

參考公式:,其中.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的短軸長(zhǎng)為,直線與橢圓相交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.當(dāng)連線的斜率為時(shí),直線的傾斜角為

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)若是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn),求證:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù),.

1)若處取得極值,求實(shí)數(shù)的值;

2)對(duì)任意實(shí)數(shù),都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)當(dāng)時(shí),證明:存在唯一,使得,且.

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【題目】已知函數(shù)

(1)若,求處的切線方程;

(2)若對(duì)于任意的正數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的值;

(3)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】在邊長(zhǎng)為4的正方形中,點(diǎn)E、F分別為邊的中點(diǎn),以為折痕把折起,使點(diǎn)B、D重合于點(diǎn)P位置,連結(jié),得到如圖所示的四棱錐.

1)在線段上是否存在一點(diǎn)G,使與平面平行,若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由

2)求點(diǎn)A到平面的距離.

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A.B.C.D.

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1)根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的散點(diǎn)圖能夠看出可用線性回歸模型擬合的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明;(系數(shù)精確到0.001

2)建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);如果該公司計(jì)劃在9月份實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品銷量超6萬(wàn)件,預(yù)測(cè)至少需投入促銷費(fèi)用多少萬(wàn)元(結(jié)果精確到0.01.

參考數(shù)據(jù) , , , , ,其中, 分別為第個(gè)月的促銷費(fèi)用和產(chǎn)品銷量 .

參考公式:(1)樣本的相關(guān)系數(shù)

2)對(duì)于一組數(shù)據(jù), , ,其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為 .

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