Question

【題目】已知橢圓的方程為 （ ）的離心率為 ，圓的方程為 ，若橢圓與圓 相交于 ， 兩點，且線段 恰好為圓 的直徑.

（1）求直線 的方程；

（2）求橢圓 的標準方程.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：(1) 由橢圓的離心率為 ，可設橢圓 的方程為 ，設 ， ，由線段 恰好為圓 的直徑可得 ， ，由于 ， ，兩式相減，并整理得 ，∴，根據點斜式可求得直線 的方程；（2）由（1）知 ，代入并整理得， ，根據弦長公式列方程可得，從而得，進而可得橢圓 的標準方程.

試題解析：（1）由 得，

∴ ，即 ，∴橢圓 的方程為 ，

設 ， ，∵線段 恰好為圓 的直徑，

∴線段 的中點恰好為圓心 ，于是有 ， ，

由于 ， ，兩式相減，并整理得，

有 ，∴

∴直線 的方程為 ，即 。

（2）解：由（1）知 ，代入并整理得，

，

∵橢圓 與圓 相交于 ， 兩點，

∴ ,解得 ，

于是 ，

依題意， ，

而

∴

解得 ，滿足

∴

∴所求橢圓 的標準方程 .

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系和“點差法”的應用，屬于難題. 用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或 ；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.