直線l與拋物線y2=ax(a>0)交于A、B兩點,則以線段AB為直徑的圓經(jīng)過拋物線頂點O的充要條件是(  )
分析:設(shè)l方程為x=ty+m與拋物線方程聯(lián)立得y2-aty-am=0,利用以AB為直徑的圓過原點,即x1x2+y1y2=0,從而求出定點坐標的充要條件.
解答:解:設(shè)l方程為x=ty+m聯(lián)立
x=ty+m
y2=ax
得y2-aty-am=0,
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)則
y1+y2=at
y1y2=-am

∴x1x2=
y
2
1
a
y
2
2
a
=m2,
∵以AB為直徑的圓過原點,∴x1x2+y1y2=0,∴m2-am=0,∴m=a,∴Q的坐標為(a,0).
反之,當(dāng)l過定點Q(a,0)時,同樣可得x1x2+y1y2=0,從而以線段AB為直徑的圓經(jīng)過拋物線頂點O.
故選D.
點評:本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)、必要條件、充分條件與充要條件的判斷,同時考查恒過定點問題,注意挖掘題目隱含,將問題等價轉(zhuǎn)化.
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(Ⅰ)如果直線l過拋物線的焦點,求
OA
OB
的值;
(Ⅱ)如果
OA
OB
=-4,證明直線l必過一定點,并求出該定點.

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OA
OB
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6
≤|AB|≤4
30
,求直線l的斜率k的取值范圍;
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5
2
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