Question

（本題滿分10分）如圖，已知四棱錐底面為菱形，平面，，分別是、的中點(diǎn).

(1)證明：

 (2)設(shè)， 若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成的最大角的正切值為

，求此時(shí)異面直線AE和CH所成的角.

 

Answer 1

【答案】

．（1）證明：見解析；（2）異面直線所成角30⁰

【解析】

試題分析：（I）根據(jù)題意可得：△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，又因?yàn)锽C∥AD，所以AE⊥AD．又PA⊥AE，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，進(jìn)而可得答案；

（Ⅱ）先根據(jù)條件由（1）知AE⊥平面PAD，

則∠EHA為EH與平面PAD所成的角. 在Rt△EAH中，AE=，所以  當(dāng)AH最短時(shí)，∠EHA最大進(jìn)而得到異面直線的所成的角。

（1）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，

可得△ABC為正三角形.因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，

所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD. 

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，

AE平面ABCD，所以PA⊥AE.而 PA平面PAD，

AD平面PAD 且PA∩AD=A，所以 AE⊥平面PAD，

又PD平面PAD.所以 AE⊥PD.

（2）解：設(shè)AB=2，H為PD上任意一點(diǎn)，

連接AH，EH.  由（1）知AE⊥平面PAD，

則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，所以  當(dāng)AH最短時(shí)，∠EHA最大，

即當(dāng)AH⊥PD時(shí)，∠EHA最大.此時(shí)tan∠EHA=

因此AH=.又AD=2，所以∠ADH=45所以 PA=2.

異面直線所成角30⁰

考點(diǎn)：本題主要是考查線面垂直的證明以及異面直線所成的角的求解。

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便利用已知條件得到空間的線面關(guān)系，并且便于建立坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)運(yùn)算解決空間角等問題