【題目】已知數(shù)列{an},{bn}均為各項(xiàng)都不相等的數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,an+1bn=Sn+1(n∈N).
(1)若a1=1,bn= ,求a4的值;
(2)若{an}是公比為q的等比數(shù)列,求證:存在實(shí)數(shù)λ,使得{bn+λ}為等比數(shù)列;
(3)若{an}的各項(xiàng)都不為零,{bn}是公差為d的等差數(shù)列,求證:a2 , a3 , …,an…成等差數(shù)列的充要條件是d= .
【答案】
(1)解:∵an+1bn=Sn+1,a1=1,bn= ,
∴a2= = =4,
a3= = =6,
a4= = =8
(2)證明:設(shè)an=a1qn﹣1(q≠1),則Sn= ,
∵an+1bn=Sn+1,
∴bn= = ,
∵ = = 為常數(shù),
∴﹣1+λ﹣λq=0,即λ= ,
故存在實(shí)數(shù)λ= ,使得{bn+λ}為等比數(shù)列
(3)證明:∵數(shù)列{bn}是公差為d的等差數(shù)列,
∴當(dāng)n≥2時(shí),an+1bn﹣an(bn﹣d)=an,
即(an+1﹣an)bn=(1﹣d)an,
∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)都不為零,
∴an+1﹣an≠0,1﹣d≠0,
∴當(dāng)n≥2時(shí), = ,
當(dāng)n≥3時(shí), = ,
兩式相減得:當(dāng)n≥3時(shí), ﹣ = = .
先證充分性:
由d= 可知 ﹣ =1,
∴當(dāng)n≥3時(shí), +1= ,
又∵an≠0,
∴an+1﹣an=an﹣an﹣1,
即a2,a3,…,an…成等差數(shù)列;
再證必要性:
∵a2,a3,…,an…成等差數(shù)列,
∴當(dāng)n≥3時(shí),an+1﹣an=an﹣an﹣1,
∴ ﹣ = ﹣ =1= ,
∴d= .
綜上所述,a2,a3,…,an…成等差數(shù)列的充要條件是d=
【解析】(1)直接代入計(jì)算即可;(2)通過(guò)設(shè)an=a1qn﹣1(q≠1),利用等比數(shù)列的求和公式及an+1bn=Sn+1,計(jì)算可知bn= ,進(jìn)而化簡(jiǎn)即得結(jié)論;(3)通過(guò)數(shù)列{bn}是公差為d的等差數(shù)列,對(duì)an+1bn﹣an(bn﹣d)=an變形可知 = (n≥2)、 = (n≥3),從而 ﹣ = (n≥3),然后分別證明充分性、必要性即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(及其變式)和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握通項(xiàng)公式:;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,12月1日至12月5日的晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)如下表所示:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
溫差x(℃) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)y(顆) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2組數(shù)據(jù)的概率.
(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程.
(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(wèn)(2)中所得的線性回歸方程是否可靠?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PC⊥平面PAD,AB∥CD,CD=2AB=2BC,M,N分別是棱PA,CD的中點(diǎn).
(1)求證:PC∥平面BMN;
(2)求證:平面BMN⊥平面PAC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PC⊥平面PAD,AB∥CD,CD=2AB=2BC,M,N分別是棱PA,CD的中點(diǎn).
(1)求證:PC∥平面BMN;
(2)求證:平面BMN⊥平面PAC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,
且,
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)數(shù)列滿足,
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
②是否存在正整數(shù),使得,,成等差數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù),例如:
他們研究過(guò)圖1中的1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱為三角形數(shù);類似地,稱圖2中的1,4,9,16,…這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是
A. 289 B. 1 024 C. 1 225 D. 1 378
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=2,CD=4,BC= ,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為AD,BC的中點(diǎn).如果對(duì)于常數(shù)λ,在ABCD的四條邊上,有且只有8個(gè)不同的點(diǎn)P使得 =λ成立,那么實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為.在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸)中,圓的方程為.
(1)求圓的直角坐標(biāo)方程和直線普通方程;
(2)設(shè)圓與直線交于點(diǎn),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,,分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn),以為圓心,為半徑作圓,當(dāng)圓與直線:有公共點(diǎn)時(shí),求面積的最大值.
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