【題目】已知函數(shù),是的導函數(shù),且,.
(1)求的解析式,并判斷零點的個數(shù);
(2)若,且對任意的恒成立,求k的最大值.(參考數(shù)據(jù):,)
【答案】(1),1個;(2)4
【解析】
(1)由,待定系數(shù)即可求得解析式,再令,求解零點;
(2)分離參數(shù),將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題,利用導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性及最值.
(1)因為,
所以.
因為,,
所以,.
解得,
故
,令,解得
故當函數(shù)單調(diào)遞減;當函數(shù)單調(diào)遞增;
又,,故函數(shù)在存在一個零點;
當時,,故,
故函數(shù)在區(qū)間上不存在零點;
綜上所述:函數(shù)只有1個零點.
(2)因為,所以
等價于.
設,
則.
令,
則,故在上單調(diào)遞增.
因為,,
所以存在,使得,
即,
則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
故.
因為對任意的恒成立,
所以.
因為,且,
所以k的最大值是4.
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【題目】已知函數(shù)的最大值為(其中為自然對數(shù)的底數(shù)),是的導函數(shù)。
(1)求的值;
(2)任取兩個不等的正數(shù),且,若存在正數(shù),使得成立。求證:。
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【題目】如圖,已知點F為拋物線C:()的焦點,過點F的動直線l與拋物線C交于M,N兩點,且當直線l的傾斜角為45°時,.
(1)求拋物線C的方程.
(2)試確定在x軸上是否存在點P,使得直線PM,PN關(guān)于x軸對稱?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】若冬季晝夜溫差x(單位:)與某新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)量y(單位:顆)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù),用最小二乘法近似得到回歸直線方程為,則下列結(jié)論中不正確的是( )
A.y與x具有正相關(guān)關(guān)系
B.回歸直線過點
C.若冬季晝夜溫差增加,則該新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)約增加2.5顆
D.若冬季晝夜溫差的大小為,則該新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)一定是22顆
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【題目】過拋物線的焦點且斜率為的直線交拋物線于,兩點,且.
(1)求的值;
(2)拋物線上一點,直線(其中)與拋物線交于,兩個不同的點(均與點不重合),設直線,的斜率分別為,,.動點在直線上,且滿足,其中為坐標原點.當線段最長時,求直線的方程.
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【題目】運動健康已成為大家越來越關(guān)心的話題,某公司開發(fā)的一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾號.手機用戶可以通過關(guān)注該公眾號查看自己每天行走的步數(shù),同時也可以和好友進行運動量的PK和點贊.現(xiàn)從張華的好友中隨機選取40人(男、女各20人),記錄他們某一天行走的步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如表:
步數(shù) 性別 | 0~2000 | 2001~5000 | 5001~8000 | 8001~10000 | >10000 |
男 | 1 | 2 | 4 | 7 | 6 |
女 | 0 | 3 | 9 | 6 | 2 |
(1)若某人一天行走的步數(shù)超過8000步被評定為“積極型”,否則被評定為“懈怠型”,根據(jù)題意完成下列2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有90%的把握認為男、女的“評定類型”有差異?
積極型 | 懈怠型 | 總計 | |
男 | |||
女 | |||
總計 |
(2)在張華的這40位好友中,從該天行走的步數(shù)不超過5000步的人中隨機抽取2人,設抽取的女性有X人,求X=1時的概率.
參考公式與數(shù)據(jù):
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
K2=,其中n=a+b+c+d.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行六面體中,底面為菱形,和相交于點為的中點
(1)求證:平面;
(2)若在平面上的射影為的中點.求平面與平而所成銳二面角的大小
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